وبلاگ

با پیشرفت روز­افزون فن­آوری و رقابت بازار تجارت، اكثر صنایع مانند صنایع نظامی، فضایی، خودروسازی، پتروشیمی و تاسیساتی به سمت كاهش هزینه و زمان تولید، عرضه محصولاتی سبك‌تر و با كیفیت ‌بالاتر و همچنین سیستم تولید انعطاف‌پذیر روی آورده‌اند. به همین دلیل استفاده از مواد جدید و توسعه فرایند‌های پیشرفته تولید، امری لازم و ضروری است. از این رو، محققان و صنعتگران به سمت فرایند‌های تولید پیشرفته با انعطاف­پذیری بالا روی‌ آورده­اند. یكی از این فرایند‌ها كه امروزه توجه تولیدكنندگان را به خود جلب كرده است، هیدروفرمینگ[1] می­باشد. هیدروفرمینگ فرایندی است كه به  دلیل نیاز به تكنولوژی نسبتاً بالا، كاربرد آن تا مدت‌ها محدود به موارد خاص بوده است. با پیشرفت تكنولوژی، ماشین‌آلات تولیدی، سیستم‌های آب‌بندی و فرایند‌های كنترل كامپیوتری در دهة اخیر، شكل‌دهی با فشار سیال، به عنوان یک روش قابل استفاده در صنعت معرفی شده است [1].
در این فصل، ابتدا فرایندهای شکل­دهی فلزات معرفی و دسته­بندی شده و به جایگاه هیدروفرمینگ در بین آنها اشاره می‌شود. پس از معرفی فرایند هیدروفرمینگ و انواع آن، توضیح مختصری پیرامون منحنی­های­ حد شكل­دهی، كاربردهای آن و روش­ بدست آوردن آن ارائه خواهد شد. سپس مروری بر پژوهش­های انجام شده توسط محققان دیگر، در ارتباط با این پایان نامه ارائه می­گردد. در نهایت اهداف و ویژگی‌های پایان نامه حاضر شرح داده می­ شود.
2-1- معرفی فرایندهای شکل­دهی فلزات
به طور كلی فرایندهای شكل­دهی فلزات را می‌توان به دو گروه عمده دسته­بندی كرد [1]:
الف- شكل­دهی حجمی[1]
ب- شكل­دهی ورق[2]
شكل­دهی حجمی دارای دو مشخصه متمایز زیر است [1]:
1- شكل یا سطح مقطع قطعه­كار، تغییر شكل مومسان دائمی و زیاد پیدا می‌كند.
2- مقدار تغییر شكل مومسان[3] در این فرایند نسبت به تغییر شكل كشسان[4] معمولاً به قدری زیاد است كه از برگشت فنری[5] قطعه بعد از تغییر شكل صرف­نظر می‌شود.
فرایندهای حدیده­كاری[6]، آهنگری[7]، نوردكاری[8] و كشش[9] مثال­هایی از فرایندهای شكل‌دهی حجمی فلزات می‌باشند.

مشخصه­های فرایندهای شكل‌دهی ورق چنین است [1]:
1- شكل اولیه قطعه­كار به صورت ورق است.
2- این فرایند شكل‌دهی معمولاً تغییر قابل توجهی در هندسه قطعه به وجود می‌آورد، اما مساحت سطح مقطع جسم، چندان تغییر نمی­كند.
3- گاهی تغییر شكل­های مومسان و كشسان از یک مرتبه‌اند. بنابراین نمی‌توان از برگشت فنری چشم‌پوشی كرد.
فرایندهای کشش عمیق[10]، خمکاری[11] و شکل­دهی چرخشی[12] نمونه­هایی از فرایندهای شكل‌دهی ورق هستند.
3-1- معرفی فرایند هیدروفرمینگ
هیدروفرمینگ یكی از فرایند‌های شكل‌دهی فلزات است كه در آن از یک سیال تحت فشار به منظور ایجاد تغییر شكل پلاستیک در قطعه اولیه كه به شكل ورق یا لوله است، استفاده می‌شود. در هر یک از فرایندهای هیدروفرمینگ، همواره به یک پرس، قالب و یک سیستم تقویت­کننده فشار نیاز است [2, 3]. به طور کلی، در فرایند هیدروفرمینگ، به­علت توزیع فشار یکنواخت سیال بر سطح قطعه، محصولی با خواص مکانیکی مطلوب به­دست می‌آید. از دیگر مزایای هیدروفرمینگ می‌توان به قابلیت تولید قطعات پیچیده، دقت ابعادی بهتر و بهبود شکل­دهی موادی که قابلیت شکل­دهی کمی دارند، اشاره کرد. از طرف دیگر، این فرایند دارای معایبی است كه از آن جمله می‌توان به چرخه آرام تولید و تجهیزات گران قیمت اشاره كرد [2]. هیدروفرمینگ علاوه بر كاربردهای متعددی كه در صنایع هوافضا دارد، از دهه 1990 به طور گسترده در صنایع خودروسازی مورد استفاده قرار گرفته است. از كاربردهای عمده این فرایند در صنعت خودروسازی می‌توان به ساخت قطعات سیستم اگزوز خودرو، قطعات شاسی، اجزای موتور و قطعات بدنه خودرو اشاره كرد.
1-3-1- تاریخچه فرایند هیدروفرمینگ
تاریخچه استفاده از سیال به­منظور شكل‌دهی فلزات به بیش از 100 سال قبل باز می‌گردد. كاربردهای اولیه این فرایند در ساخت دیگ‌های بخار و ادوات موسیقی بوده است. با این وجود مبانی هیدروفرمینگ در دهه 1940 بنیان­گذاری شده است. اولین كاربرد ثبت شده فرایند هیدروفرمینگ توسط میلتون گاروین از شركت شایبل آمریكا در دهه 1950 میلادی بوده است كه در ساخت ظروف آشپزخانه از این فرایند بهره جسته است. ساخت اتصالات T- شكل مسی در صنعت لوله‌كشی تا دهه 1990 میلادی رایج‌‌ترین كاربرد این فرایند بوده است. از دهه 1990، با توجه به پیشرفت‌های صنعتی در كنترل كامپیوتری، سیستم‌های هیدرولیكی و راهبردهای نوین فرایندهای طراحی و ساخت، این فرایند كاربرد ویژه‌ای در صنعت پیدا كرده و جایگزین بسیاری از فرایندهای آهنگری و مهرزنی به ویژه‌ در قطعات وسایل نقلیه شده است [4].
[1] Bulk forming
[2] Sheet forming
[3] Plastic deformation
[4] Elastic deformation
[5] Spring back
[6] Extrusion
[7] Forging
[8] Rolling
[9] Drawing
[10] Deep drawing
[11] Bending
[12] Spinning
[1] Hydroforming

تا كنون روش های ریاضی و ترمودینامیكی مختلفی برای بهینه سازی و طراحی سیستم سرویس های جانبی و انتخاب سطوح فشار خطوط اصلی بخار پیشنهاد شده است كه در سطور آینده به برخی از آنها  اشاره می گردد.
یكی از مهمترین مسائل در طراحی سیستم سرویس های جانبی، انتخاب سطوح فشار خطوط اصلی بخار می باشد. در سال 1977، نیشیو برای اولین بار موضوع انتخاب سطوح بهینه فشار خط اصلی بخار را مطرح كرد و یک روش جستجوی مستقیم را كه با حل همزمان معادلات كوپل شده بود، ارائه نمود]1[.
سپس نیشیو و جانسون[1] یک روش ترمودینامیکی را پیشنهاد کردند، در این کار نیشیو و همکارانش از یک مدل LP  نیز به منظور انتخاب بهینه وسایلوتجهیزات مورد استفاده در سیستمهای تولید و توزیع بخار و توان و پیش بینی هزینه حداقل سرویسهای جانبی (Utilities ) استفاده كردند. این روش تلاش می کرد وسایلی برای سرویس جانبی انتخاب کند که اتلاف انرژی در دسترس برای هر واحد را حداقل کند و گرداننده های مورد استفاده  در فرایند ( Drivers ) اعم از توربینها و موتورهای الکتریکی را با بهره گرفتن از برنامه ریزی خطی (LP)  بصورت بهینه مشخص كند. تجزیه و تحلیل ترمودینامیکی انرژی در دسترس، بر مبنای یک دسته از قوانین ابتکاری که برای تعیین ساختار کارخانه و شرایط طراحی به کار برده می شد، صورت می گرفت . اگر چه حداقل کردن اتلاف انرژی در دسترس به حداكثر کردن بازده کارخانه می انجامید، اما هزینه های سرمایه گذاری مربوط به واحدهای سرویس جانبی در این قسمت مورد توجه قرار نگرفته بود. همچنین یکی از نقاط ضعف چنین روشی این بود که برخی تصمیمات اصلی برای تعیین شکل کارخانه بر مبنای قوانین ابتکاری[2] بوده و در نتیجه ممكن است تعدادی از رناتیوهایی که شامل راه حل بهینه نیز باشند، را از دست بدهد. محدودیت مهم دیگر این بود كه هزینه های سرمایه گذاری با ظرفیت ها ، مطلقاً خطی در نظر گرفته شده بودند و بنابراین افزایش تولید به منظور سرشکن کردن هزینه سربار[3] در این مدل لحاظ نشده بود ]2[.
پترولاس و ركلاتیس[4] یک روش تجزیه و تحلیل برای سیستم سرویسهای جانبی بر مبنای تجزیه ای از دو زیرشاخه كه با هم کوپل شده اند را پیشنهاد کردند. اولین زیرشاخه تعداد خطوط اصلی بخار بعلاوه فشار در هر خط اصلی را تعیین می کرد و به عنوان یک برنامه ی پویا[5] که اتلاف انرژی های در دسترس را حداقل می کرد، مدل شده بود. دومین زیرشاخه شامل انتخاب درایور بود و به عنوان یک LP با هدف حداقل کردن انرژیهای ورودی (بخار و الکتریسیته)، فرمول بندی شده بود. به عبارت دیگر آنها یک روش برنامه ریزی پویا را برای بهینه كردن شرایط خط اصلی بخار به عنوان متغیر های پیوسته و یک روش LP را برای تعیین مكان بهینة درایورها  با هدف عمومی حداقل كردن اتلاف كار واقعی، به كار بردند. در این روش چنین عنوان شده بود كه اگر نیاز به وجود دیگ بخار باشد، این دیگ بخار باید در بالاترین سطح فشار، بخار تولید كند، زیرا کوپل کردن دو زیرشاخه در بازده درایورها و بار حرارتی دیگ بخار تأثیر می گذاشت. اما در مسئله بهینه سازی نیاز به تخمین شرایط بخار با فشار خیلی بالا (VHPS)، دمای هر سطح بخار، بار حرارتی دیگ بخار، سرویس جانبی خنك كننده و كار محوری تولیدی بوسیله شبكه توربین بخار در هر منطقه نیز می‌باشد كه در این روش لحاظ نشده است. محدودیت دیگر این روش این بود که هزینه های سرمایه گذاری واحدهای کارخانه را به حساب نمی آورد و امکان استفاده از درایور توربینهای گازی را در نظر نمی گرفت. همچنین ممكن است فرمول بندی LP برای مسئله انتخاب درایور در بعضی موارد مناسب نباشد، به عنوان مثال ممکن است توربینهای بخاری با چند ورودی یا دو درایور مختلف (توربین بخار و موتور الکتریکی) انتخاب شود، اما این مدل همان نیاز کار و توان قبل را به دست می‌داد ]3[.
در راستای استفاده از روش های ترمودینامیكی، در سال 1982 براون[6]  نشان داد  كه هر سیستم سرویس جانبی ممكن است با نسبت توان به گرمای فرایند (P/H) مشخص شود كه این نسبت  وابستگی ضعیفی به نوع سوخت مصرفی دارد. ( برای وسایل صنعتی عمومی ،  نسبت P/H  مورد نیاز كمتر از دو درصد است . )]4[
جدول 1-1 نسبت P/H متناسب برای هر سیستم سرویس جانبی را نشان می دهد. مطابق جدول صفحه بعد ، زمانیكه نسبت P/H بالا

 باشد از سیكل های تركیبی بخار-گاز استفاده می شود؛ لازم به ذكر است كه پیچیده ترین نوع سرویس جانبی، سیكل های تركیبی بخار-گاز است.

اما موضوع مهم در این كار مسئله طراحی و تجزیه و تحلیل برای یافتن سیستمی است كه بتواند گرما و توان مورد نیاز وسائل را با توجه به حداقل كردن مصرف انرژی و هزینه ی كل تأمین كند. روند كار چنین است كه نسبت توان به گرمای فرایند برای وسایل، در یک مقدار مشخص شده، طراحی می شود. به عبارت دیگر نیازهای گرما و توان مورد نیاز باید به درستی تطابق داشته باشند، سپس مصرف گرما كه بوسیله گرمای خالص سوخت ورودی تعریف می شود، باید در نظر گرفته شود. از آنجا كه قیمت انرژی سیستم سرویس جانبی فاكتوری مهم در تجزیه و تحلیل و توزیع قیمت سالانه می باشد، در صورتیكه این موضوع مورد توجه قرار نگیرد مقدار واقعی هزینه ی كل ارزیابی نخواهد شد.
اما در راستای استفاده از روش های ریاضی، پاپولیاس و گروسمن[1] در سال 1983 مسئله تركیبی تولید توان و گرما(CHP) را در زمینه یكپارچه سازی انرژی فرایندهای شیمیایی ،  بررسی كرده اند .آنها مقالاتی در راستای استفاده از برنامه ریزی ریاضی برای چگونگی یكپارچه سازی شبكه سرویسهای جانبی ارائه كردند. در اولین مقاله، سیستم سرویس جانبی در قالب یک ابرساختار مدل شده است و می تواند با تأمین نیازها، بهینه شود. آنها برای بهینه سازی ساختار و پارامترهای سیستم سرویس جانبی با نیازهای ثابت توان و بخار، از یک روش MILP استفاده كردند. سیستم سرویس جانبی بهینه از یک ابرساختار  بدست آمد و با بهره گرفتن از توازنهای ساده ، مدل شد. كار بعدی آنها با احتساب تغییرات پیش بینی شده در نیازهای فرایند به شكل یک الگوی نیاز سرویس جانبی چند مرحله ای توسعه یافت ؛ در دومین مقاله (پاپولیاس و گروسمن، (1983)، بارهای حرارتی ابرساختار سیستم سرویس جانبی ، متغیرهایی در فرمول بندی نمودار حرارت می شوند كه محاسبه تولید تركیبی كار مكانیكی و حداقل انرژی مورد نیاز را ممكن می سازد و در سومین مقاله، مدلهای سرویس جانبی و نمودار آبشاری گرما با یک روش MILP  عمومی برای سنتز كل سیستم، یكپارچه می شوند ]5،6 و 7 [.
در سال 1984 به منظور انتخاب فشار خطوط اصلی بخار، لینهوف و مورتون[2] منحنی های مركب گراند را پیشنهاد كردند ]8[ و در سال 1989، سوانی[3] یک سری انتقالی برای طراحی شبكه ها شامل موتورهای حرارتی و پمپ های حرارتی را گسترش داد. این راه حل رناتیوهای طراحی را مشخص می كرد و زمینه ای برای تصمیم گیری  در انتخاب جانمایی نهایی طرح را فراهم می آورد ]9[.
دال و لینهوف در سال 1992، با هدف حداقل كردن مصرف سیستم سرویس جانبی فرایند كل با بهره گرفتن از پروفیل های چشمه و چاه، روش یكپارچه سازی كل واحد برای چند فرایند را ارائه كردند. در این روش پروفیل های چشمه وچاه، میزان تولید و مصرف گرمای خالص در فرایند كل را ارائه می كند (به این مفهوم كه میزان گرمای خالص مورد نیاز و دفع شونده به سرویس های جانبی را پس از حداكثر شدن بازیافت حرارت در فرایندها نشان می دهد). تجزیه وتحلیل گلوگاهی (پینچ) راه حل بهینه كلی را به دست نمی دهد، چرا كه این راه كار نمی تواند بصورت همزمان با موازنه های مواد به كار برده شود، اما قادر است  به سرعت ساختارهای یكپارچه شده خوبی را بین فرایندهای نسبتا پیچیده ارائه دهد، لذا این روش، به عنوان روشی كه می تواند به سرعت ساختارهای مناسبی نزدیک به حالت بهینه را برای فرایندهای پیچیده ارائه كند، قابل استفاده است ]10[.
در سال 1994، رایسی با بهره گرفتن از روش تجزیه و تحلیل فرایند كل، تعیین سطوح بهینه بخار و در نتیجه ی آن حداقل شدن مصرف سوخت (MFR) یا هزینه سرویس های جانبی (MUC) را ارائه كرد ]11[.
 همانطور كه ذكر شد یكپارچه سازی شبكه بخار مرحله ای مهم در انتگراسیون سیستم سرویس جانبی با هدف حداقل كردن هزینه ی انرژی مورد نیاز (MCER) می باشد، زیرا در فرایند های صنعتی، شبكه بخار نقش خیلی مهمی را ایفا می كند و آن عبارت است از انتقال انرژی به داخل فرایند و مابین فرایند ها. از آنجا كه بخار می تواند قبل از مصرف در فرایند برای تولید توان مكانیكی بوسیله توربینها منبسط شود، شبكه بخار به تولید تركیبی توان و گرما مرتبط می شود. در ابتدا مارشال و كالیتونتزف یک فرمول بندی MILP عمومی كه یكپارچه سازی سرویسهای جانبی برای تأمین انرژی مورد نیاز در كمترین هزینه را ممكن می ساخت، ارائه كردند. این فرمول بندی شامل توازن توان مكانیكی بود كه تولید تركیبی را امكانپذیر می نمود. سپس روشی بر مبنای مفاهیم ترمودینامیكی كه تعیین فشار بهینه در شبكه بخار را ممكن می سازد، ارائه كردند. مبنای كار آنها استفاده از سیكل رانكین می باشد. تجزیه و تحلیل انتگراسیون سیكل رانكین نشان می دهد كه این سیكل می تواند با مستطیلهای یكپارچه در منحنی تركیبی جامع (G.C.C.) موازنه شده، ارتباط داده شود؛ به این صورت كه اضلاع افقی مستطیل بوسیله دماهای تبخیر و میعان تعریف شوند و كار مكانیكی تولید شده متناسب با سطح مستطیلها باشد و بوسیله سیكل كارنو به صورت تقریبی تخمین زده شود. در نهایت مشخصات سیكل رانكین، به عبارت دیگر سطوح فشار و دمای فوق اشباع، از تعیین مستطیل ها به  دست خواهد آمد(شكل 1-1).
[1]. Papoulias & Grossmann
8 . Morton & Linnhoff

9. Swaney

9. Nishio & Johnson

9. Heuristic

9. Economy of Scale

9. Petroulas & Reklaitis

9. Dynamic

9. Brown

1-1- پیشگفتار
با توجه به کاربردهای وسیع لایه ­های نازک، استفاده از این تکنولوژی در بسیاری از ادوات  اپتیکی، الکترونیکی و تجهیزات مربوط به انرژی خورشیدی متداول شده­است. از طرفی، اطلاع از خواص تشعشعی ساختارهای چندلایه[1] شامل لایه ­های نازک، در بسیاری از کاربردهای عملی مانند فرایندهای گرمایی سریع[2] (RTP) [1و2] و سلول­های خورشیدی حائز اهمیت کلیدی می­باشد. یافتن ضخامت بهینه­ لایه ­ها جهت دستیابی به خواص تشعشعی مورد نظر، کاربردهای مهمی در تجهیزات خنک­کننده­ تشعشعی[3]، آینه­های حرارتی[4]، کلکتورهای خورشیدی و سلول­های خورشیدی دارد، ولی با این وجود به ندرت مورد بررسی قرار گرفته است.
لایه­ های نازک در کاربردها معمولا به شکل ساختارهای چندلایه مطابق شکل 1-1 استفاده می­شوند.
همان­طور که دیده می­ شود یک لایه­ ضخیم(Substrate) با ضخامتی از order میلیمتر وجود دارد که در اطراف آن (یا فقط در یک سمت) لایه ­های نازک قرار دارند. یکی از ویژگی­های مهم این ساختارها قابل تنظیم بودن خواص تشعشعی آن­ها است. خواص تشعشعی چنین ساختارهایی به عوامل متعددی بستگی دارد که در ادامه لیست می­شوند[3]:
1- تعداد لایه ها
2- جنس لایه ها
3- نحوه چینش لایه ها
4- ضخامت لایه ها
5- زاویه برخورد
6- دمای لایه ها
7- پلاریزاسیون پرتو برخوردی
با توجه به تغییرات طیفی خواص تشعشعی این لایه ­ها می­توان با بهره گرفتن از ترکیب­های متنوع از لایه ­های مختلف، خواص تشعشعی را در بازه­های مختلف طول موج تغییر داد. در نتیجه  در صورتیکه جنس و ضخامت لایه ­ها به درستی انتخاب شود، می­توان به کمک ساختارهای چندلایه­ نازک به پوشش ­های انتخابگر متنوع دسترسی پیدا کرد.
2-1- خنک­ کاری تشعشعی
بخشی از انرژی گسیل شده از خورشید در جو زمین جذب می­ شود که این خود منجر به گسیل انرژی از سوی جو خواهد شد. درنتیجه شار انرژی تشعشعی وارد بر سطح زمین، از 2 بخش تشعشع خورشید  و تشعشع آسمان  تشکیل شده است(شکل 1-2). در این شکل شار تشعشعی برحسب GW/m3 (شار انرژی بر واحد سطح در بازه­ی طول موج 1 میکرومتر معادل 1000 W/m2) و MW/m3 (شار انرژی بر واحد سطح در بازه­ی طول موج 1 میکرومتر معادل 1 W/m2) آورده شده است. حدود 95 درصد تشعشع خورشید در بازه 0.3-2.4 μm وارد می­ شود در صورتیکه، تشعشع آسمان عمدتا در بازه­ 4-85 μm و کاملا در محدوده  مادون قرمز قرار می­گیرد. در صورتیکه رطوبت خیلی زیاد نباشد، در بازه­ 8-13 μm تشعشع آسمان بسیار کم است. در سایر طول موج­ها تشعشع آسمان تقریبا بر یک توزیع پلانک در دمایی در حدود 300 کلوین منطبق است. به بازه­ 8-13 μm پنجره­ اتمسفری[1]  گفته می­ شود. در این بازه اتمسفر به صورت یک چاه حرارتی عمل می­ کند و تشعشع گسیل شده از اجسام واقع در سطح زمین با تشعشع ورودی جو بالانس نمی­ شود. این واقعیت مبنای خنک­کاری تشعشعی است. به این ترتیب خنک­کاری، بدون مصرف انرژی امکان پذیر خواهد بود[4]. این روش در نگهداری مواد غذایی و دارویی، تهیه­ آب خنک، خنک­ کاری ساختمان­ها[5و6و7] و چگالش رطوبت هوا[8و9و10] کاربرد دارد.
در صورتیکه یک جسم سیاه در طول شب در هوای آزاد قرار گیرد، بیشترین توان خنک­کاری قابل دسترسی خواهد بود. ولی به دلیل تبادل حرارت جا به ­جایی با هوا امکان خنک­کاری بیشتر از 10-20 ºC امکان پذیر نیست[12]. با بهره گرفتن از یک پوشش جابه­جایی[1]، با کاهش ضریب انتقال حرارت جا به ­جایی در حالت ایده­آل می­توان به دمایی حدود 30-40 ºC پایین­تر از محیط رسید. ولی خواص تشعشعی طیفی متفاوت پوشش نسبت به هوا باعث کاهش توان خنک­کاری می­ شود. ضریب عبور یک پوشش ایده­آل باید در بازه­ 8-13 μm برابر با 1 و در سایر طول موج­ها برابر با صفر باشد. در طول روز شار تشعشعی قابل ملاحظه­ای در محدوده­  0.3-2.4 μmبر سطح زمین وارد می­ شود، که خنک­کاری را بسیار سخت می­ کند. بنابراین یک پوشش ایده­آل برای خنک­کاری در روز علاوه بر شرایط قبلی باید ضریب بازتاب بسیار بالایی در محدوده­ تشعشع خورشید داشته باشد.
هدف بخش عمده­ فعالیت­های 3 دهه­ اخیر، دستیابی به یک پوشش مناسب برای خنک­کاری تحت نور مستقیم خورشید بوده است، ولی این مسئله همچنان به صورت یک چالش باقی مانده است.
3-1- آینه های حرارتی
منظور از آینه­ حرارتی پوششی است که به نور مرئی اجازه­ عبور می­دهد در حالیکه، از انتقال حرارت تشعشعی در محدوده­ مادون قرمز جلوگیری می­ کند. در نتیجه با بهره گرفتن از چنین پوششی علاوه بر تأمین نور مورد نیاز برای روشنایی ساختمان، از اتلاف انرژی به صورت تشعشعی جلوگیری خواهد شد. علاوه بر این چنین پوشش ­هایی در بالا بردن جذب انرژی در سلول­های خورشیدی و کلکتورهای خورشیدی کاربرد خواهند داشت. ضریب عبور در محدوده­ نور مرئی ( 0.4-0.7 μm) و ضریب بازتاب در محدوده­ مادون قرمز (طول موج­های بالاتر از 0.7 μm) برای یک آینه­ حرارتی ایده­آل، برابر با یک است[4و13].
4-1- تعریف مسئله
در پژوهش حاضر خواص تشعشعی یک ساختار چندلایه با تغییر دادن جنس لایه ­ها، ترتیب چینش لایه ­ها، ضخامت لایه ­ها و تعداد لایه ­ها بهینه­سازی می­ شود. بهینه سا­زی با توجه به مسائل کاربردی و در یک یا چند بازه­ طول موج انجام خواهد شد.
در پروژه­ حاضر ساختارهای بهینه جهت کاربرد در خنک­کاری تشعشعی و آینه­های حرارتی معرفی خواهد شد. همچنین ساختار­های لایه

 نازک با ضرایب جذب، بازتاب و عبور ماکزیمم در محدوده­ تشعشع خورشید معرفی خواهد شد. چنین ساختارهایی می­توانند در کلکتور­های خورشیدی، سلول­های خورشیدی و آب­گرمکن­های خورشیدی کاربرد داشته باشند.

5-1- اهداف پژوهش
اهداف این مطالعه عبارتند از:
1- محاسبه­ خواص تشعشعی یک ساختار چندلایه­ نازک
2- معرفی پوشش ­های لایه نازک بهینه برای کاربردهای متنوع با در نظر گرفتن محدوده­ وسیعی از مواد مختلف
3- ارائه­ یک بررسی تئوری جامع در مورد خنک­کاری تشعشعی و استفاده از پوشش ­های لایه نازک به عنوان پوشش جابه­جایی
4- معرفی پوشش ­های بهینه جهت خنک­کاری تشعشعی در روز و شب
5- معرفی ساختارهای بهینه جهت کاربرد به عنوان آینه­ حرارتی
6-1- روش انجام پژوهش
در این پروژه بهینه سازی با بهره گرفتن از دو روش الگوریتم ژنتیک[1] و عملیات حرارتی شبیه­سازی شده[2] انجام خواهد شد. خواص تشعشعی ساختار­های چند لایه­ نازک با بهره گرفتن از روش­های الکترومغناطیسی محاسبه می­ شود.
پس از نوشتن کد محاسباتی و وارد کردن ضرایب شکست و استهلاک[3] مواد مختلف مدل محاسبه­ خواص یک ساختار چند لایه نازک تهیه می­ شود. سپس با تعریف یک تابع هدف بر اساس فیزیک مسئله، بهینه­سازی به کمک 2 روش یاد شده انجام می­ شود.
در فصل دوم برخی از پژوهش­های قبلی انجام شده، مرور می­ شود. در این فصل مهم­ترین پژوهش­های تجربی و تئوری انجام­شده در زمینه­ خنک­کاری تشعشعی و آینه­های حرارتی شرح داده می­ شود. در فصل سوم نحوه­ محاسبه­ خواص تشعشعی برای یک ساختار چندلایه مورد بحث قرار می­گیرد. مدلسازی فیزیکی مسائل به همراه روش بهینه­سازی در فصل چهارم مورد مورد بحث قرار می­گیرد و تابع هدف برای هر مسئله معرفی می­ شود. نتایج بهینه­سازی به همراه کلیه­ پوشش ­های بهینه در فصل پنجم آورده شده است. در فصل ششم نتیجه­ گیری و جمع­بندی نهایی نتایج همراه با ارائه پیشنهادهایی ارائه شده است.
فصل دوم: مروری بر کارهای انجام شده
در این فصل پژوهش­های تجربی و تئوری انجام شده در مورد کاربرد لایه ­های نازک و ساختارهای چندلایه به عنوان پوشش ­های انتخابگر مورد بررسی قرار خواهد گرفت. همچنین سایر پژوهش­های انجام شده در زمینه­ خنک­کاری تشعشعی و آینه­های حرارتی مرور خواهد شد.
1-2- کارهای انجام شده قبلی
   فو (Fu) و همکاران [14] خواص تشعشعی ساختارهای چند لایه­ای را برای لایه های نازک با ضریب شکست مثبت و منفی، مقایسه کرد. وی یک ساختار متشکل از چهارلایه را در نظر گرفت. لایه ­های اول و چهارم را محیط نیمه بی نهایت با مواد دی الکتریک یکسان و ضریب شکست مساوی  در نظر گرفت. لایه های میانی را یکی از خلا و دیگری را با ضریب شکست منفی در نظر گرفت. ضخامت لایه ­های میانی را  8/0 سانتی متر انتخاب کرد.  نتایج وی نشان دادند که، انتخاب لایه با ضریب شکست منفی، منجر به ضریب عبور بسیار بزرگی برای ساختار چند  لایه­ای می شود.
   راویندرا (Ravindra) و همکاران [15]  اثر زاویه تابش پرتو ورودی به لایه سیلیکون ضخیم به ضخامت 700 میکرو متر در طول موج های 9/0 میکرومتر و  7/2  میکرومتر را بررسی کرد. وی از روش غیر همدوس برای سیلیکون ضخیم استفاده کرد.  نتایج وی نشان داد، تغییر در ضریب صدور با زاویه تابش از زاویه صفر تا º 70 خیلی ناچیز است. ولی ضریب صدور برای زاویه تابش بزرگتر از º 70، به سرعت تغییر می کند. وی این نتایج را برای دماهای ºC 30، ºC 500  و ºC 1000 بدست آورد.  همچنین او نشان داد، در دماهای بالا، ضریب صدور سیلیکون به مقدار ذاتی آن یعنی 7/0 می رسد و در محدوده طول موج 1 میکرومتر تا 20 میکرومتر، مستقل از طول موج می باشد.  همچنین نتایج او نشان دادند ضریب عبور در طول موج­های کوتاه­تر،  حوالی لبه­ جذب سیلیکون، ناچیز است و نیز ضریب عبور در دماهای بالا، قابل چشم­پوشی است.
   راویندرا اثر زاویه پرتو ورودی در حالت زیر لایه سیلیکون ضخیم پوشیده شده با دی اکسید سیلیکون را نیز بررسی کرد. ضخامت زیر لایه سیلیکون 700 میکرومتر و ضخامت پوشش دی اکسید سیلیکون برابر با 001/0 میکرومتر،  01/0 میکرومتر و 1/0 میکرومتر در نظر گرفته شد. وی نتایج مدلسازی خود را در دماهای ºC 30،     ºC 500  و ºC 900  ارائه داد.
   لی (Lee) و همکاران [16] خواص تشعشعی ساختار های چند لایه­ای شامل سیلیکون و پوشش دی اکسید سیلیکون، در محدوده طول موج 1تا 5 میکرو متر را بررسی کرد. در این کار سیلیکون آلاییده کم[1] استفاده شد و اثر پوشش دی اکسید سیلیکون بر روی یک سمت و یا هر دو سمت بررسی شد. زیر لایه سیلیکون با ضخامت 7/0 میلیمتر و پوشش دی اکسید سیلیکون با ضخامت 300 نانو متر در نظر گرفته شد. وی جهت مدل سازی خواص تشعشعی به علت ضخیم بودن زیر لایه سیلیکون از روش غیر همدوس[2] استفاده کرد. وی نتایج شبیه سازی خود را برای دماهایºC  25 و ºC 500 ارائه داد. وی به کمک دستگاه اسپکتروفوتومتر[3] ضریب بازتاب چند نمونه از سیلیکون پوشش داده شده با دی اکسید سیلیکون در دمای اتاق را بدست آورد و با نتایج مدل سازی به روش غیر همدوس مقایسه کرد که از تطابق خوبی برخوردار بود.
   لی(Lee) و همکاران [17] خواص تشعشعی لایه های نیمه شفاف را شبیه سازی کرد. وی از روش رد یابی پرتو ها[4] جهت شبیه سازی خواص تشعشعی استفاده کرد. وی نتنایج خود را در محدوده طول موج 5/0 میکرو متر تا 5/4 میکرومتر ارائه داد. نتایج وی نشان داد پوشش دی اکسید سیلیکون منجر به کاهش شدید ضریب بازتاب می شود.  نتایج لی، در محدوده ی دمای اتاق تا دمای ºC 500 و برای سیلیکون ضخیم به ضخامت 625 میکرومتر با پوشش دی اکسید سیلیکون به ضخامت 300  نانومتر بررسی شد.
   بونک (Bohnke) و همکاران [18] سطوح با ضریب بازتاب بالا و همچنین ضریب صدور بالا را بررسی کرد. وی از پوشش های آلومینیم و دی اکسید سیلیکون استفاده نمود. او نشان داد، پوشش آلومینیم منجر به حصول ضریب بازتاب بالا و پوشش دی اکسید سیلیکون منجر به ضریب صدور بالا می شود. نتایج وی نشان دادند اگر یک لایه­ دی اکسید سیلیکون بر روی یک لایه آلومینیم پوشش داده شود، ضریب بازتاب کمتری نسبت به حالت پوشش با یک لایه­ آلومینیم، بدست می آید. اگرچه پوشش دی اکسید سیلیکون بر روی لایه­ آلومینیم منجر به کاهش ضریب بازتاب گشت، ولی این ساختار منجر به یک سطح صادر کننده، جهت تقویت تشعشع حرارتی شد.
   وی به روش رسوب بخار شیمیایی، عمل لایه نشانی را انجام داد و سپس به کمک دستگاه اسپکتروفوتومتر، ضرایب بازتاب و عبور را بدست آورد. او نتیجه گرفت، استفاده از پوشش دی اکسید سیلیکون بر روی پوشش آلومینیم ساختار مناسبی جهت حصول بازتاب مناسب، توام با صدور سطحی کافی می باشد، که می­توان از این ساختار در کاربردهای فضایی، جهت کنترل دما استفاده کرد.
   لی (Lee) و همکاران [19] در سال 2005 یک برنامه به زبان VBA نوشت که خواص ساختارهای متفاوت پر کاربرد در فرایند RTP را محاسبه می­ کند.
   علومی [3] اثر تغییر پارامترهای مختلف ازجمله زاویه­ برخورد، پلاریزاسیون، دما، جنس، ضخامت و ترتیب چینش لایه ­ها را بر خواص تشعشعی ساختارهای چند لایه برای چندین چینش گوناگون محاسبه کرد. وی همچنین ساختار بهینه را برای 9 لایه شامل یک بستر سیلیکون پوشیده­شده با لایه ­هایی از جنس دی­اکسید سیلیکون و  نیترید سیلیکون، با بهره گرفتن از الگوریتم ژنتیک محاسبه کرد. همچنین یک مسئله­ بهینه سازی برای 9 لایه شامل یک بستر سیلیکون پوشیده­شده با لایه ­هایی از جنس دی­اکسید سیلیکون و  نیترید سیلیکون، با بهره گرفتن از الگوریتم ژنتیک توسط علومی حل شده که این بهینه سازی بر اساس تعداد لایه، جنس لایه ­ها و ضخامت آنها بوده و در طول موج ثابت انجام شده­است.
گرانکویست (Granqvist) و همکاران [12] در سال 1982 پوشش لایه نازک SiO/Al و Si3N4/Al  بر روی شیشه را مورد بررسی تجربی قرار داد. وی با تعریف ضرایب  و  به صورت روابط 2-1 تا 2-3 بحث کرده که با ماکزیمم شدن ، توان خنک­کاری ماکزیمم خواهد شد. همچنین حداکثر افت دمای قابل دسترسی با ماکزیمم شدن  بدست خواهد آمد. در این روابط تنها انتقال حرارت تشعشعی در نظر گرفته شده و از جا به ­جایی صرف­نظر شده است.
 1Lightly doped Silicon
2Incoherent Formulation
3Spectrophotometer
4Ray Tracing Method
1 Genetic Algorithm
2 Simulated annealing
3 Extinction Coefficient
2Convective Shield
1Atmospheric Window
1 Multilayer Structures
2 Rapid Thermal Processes
3 Radiative Cooling Devices
4 Heat Mirror

استفاده از مواد مرکب در سازه‌های هوافضا، خودروسازی و دریانوردی کاربرد گسترده‌ای دارد. به‌طورکلی مواد مرکب از دو بخش رشته و زمینه تشکیل می‌شود. رشته‌ها معمولا سخت‌تر و قوی‌تر از زمینه هستند و بار اصلی در ماده مرکب را تحمل می‌کنند و زمینه به عنوان محافظ رشته‌ها و هم‌چنین وسیله توزیع بار است. زمینه و رشته‌ها در دما و فشار کنترل شده‌ای به یکدیگر می‌چسبند و ماده مرکب را به وجود می‌آورند که از نظر ویژگی‌های مکانیکی از هر دو ماده متفاوت است. مواد مرکب را می‌توان برای استحکام، سختی، خستگی و مقاومت در برابر گرما و بخار با تغییردر جهت الیاف بهینه‌سازی کرد. ویژگی دیگر مواد مرکب نسبت به مواد معمولی، نسبت استحکام به وزن بالای آن‌ ها است. اجزای سازه‌ای نظیر تیر و ورق از طریق رویهم‌گذاری لایه‌ها در زاویه‌های مختلف به‌منظور دستیابی به ویژگی‌های مطلوب ایجاد می‌شوند.
پدیده تشدید در اجزای سازه و سیستم‌های مکانیکی، عمر تجهیزات را کم می‌کند و حتی باعث شکست کامل و زودرس می‌گردد. تشدید، تحت تاثیر ویژگی‌های جرم و سختی سازه می‌باشد. آنالیز مودال، مودهای ارتعاشی و فرکانس‌های آن را به‌دست می‌آورد. این روش برای سازه‌های ساده قابل استفاده است. اما وقتی‌که سازه پیچیده می‌شود یا تحت بارگذاری‌های پیچیده قرار می‌گیرد، از روش تحلیل المان محدود برای به‌دست آوردن فرکانس‌های طبیعی و مودهای سیستم استفاده می‌گردد.
1-1- تاریخچه‌ای به روش‌های حل مسایل ارتعاش آزاد ورق‌ها
شروع مطالعه رفتار ارتعاشی ورق‌ها به انتهای دهه 1800 باز می‌گردد، زمانی که ریلی روش معروف خود را برای بررسی ارتعاش آزاد سازه‌ها ارائه داد. [3] پس از آن ریتز در سال 1909 روش ریلی را با در نظر‌گرفتن مجموعه‌ای از تابع‌های شکل آزمون بهبود بخشید، که هر‌کدام ضرایب دامنه مستقلی دارند. به این ترتیب روش ریلی-ریتز به یکی از روش‌های تقریبی پرکاربرد در زمینه بررسی رفتار ارتعاش سازه‌ها تبدیل شد. پس از آن، تحقیقات گسترده‌ای در زمینه ارتعاش ورق‌هایی با شکل‌های مختلف، شرایط مرزی و بارگذاری متفاوت صورت گرفت. بخش عمده‌ای از این مطالعه‌ها به ورق‌های نازک محدود می‌شود که در آن از اثر تغییر شکل‌های برشی صرف‌ نظر شده است. [8]
بر خلاف ورق‌های نازک، اثر تغییر شکل‌های برشی در ورق‌های ضخیم قابل ملاحظه است. صرف نظر‌کردن از اثر‌های برشی در این نوع ورق‌ها ، منجر به افزایش قابل ملاحظه مقدار فرکانس‌های ارتعاشی در جهت عدم اطمینان می‌شود. از این رو تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه اول[1] مانند تئوری ریزنر–‌‌میندلین و دیگر تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه‌های بالاتر[2] توسط محققین مختلف برای بررسی رفتار ارتعاش ورق‌ها مورد استفاده قرار گرفته است.
میندلین و همکارانش، ارتعاش ورق‌های مستطیلی ضخیم با شرایط مرزی چهار طرف مفصل و شرایط لوی را بررسی نمودند و حل تحلیلی آن‌ ها را ارائه دادند. آن‌ ها به این نتیجه رسیدند، که در ورق های چهار طرف مفصل سه دسته مود مستقل قابل حصول است. هم‌چنین در‌هم‌کنش سایر مودها برای ورقی با یک جفت مرز آزاد و جفت دیگر مفصلی مورد مطالعه قرار گرفت.
نور [9] در سال 1973 به بررسی ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه‌ پرداخت. وی نتیجه‌های حاصل از تئوری کلاسیک ورق لایه‌لایه[3]،

 تئوری میندلین و تئوری الاستیسیته سه‌بعدی را با یکدیگر مقایسه نمود وبه این نتیجه رسید، که تئوری کلاسیک ورق برای تخمین رفتار ارتعاش ورق‌هایی با درجه عمودسانگردی بالا و نسبت ضخامت به طول بیشتر از 1/0 مناسب نیست. این در‌حالی‌است که نتایج تئوری میندلین، برای برآورد فرکانس‌های ارتعاش پایین در ورق‌های نسبتا ضخیم لایه‌لایه‌ای با نسبت ضخامت به طول کمتر از2/0 رضایت‌بخش است.

روش ریلی-ریتز در سال 1980 توسط داو و رانائل [10] برای ارتعاش آزاد ورق میندلین به‌کار برده شد. ایشان از تابع‌های تیر تیموشینکوف به عنوان تابع‌های شکل استفاده نمودند و ورق‌های مربعی با پنج ترکیب مختلف از شرایط مرزی را بررسی کردند. ایشان هم‌چنین این روش را برای حالتی بسط دادند که ورق تحت تنش‌های درون-صفحه‌ای است. براساس این روش لیو و همکارانش ارتعاش ورق‌های دایره‌ای و حلقوی شکل را برای شرایط مرزی متفاوت بررسی کردند. [11] این روش هم‌چنین در مطالعه ارتعاش ورق‌های متوازی الاضلاع و مثلثی با شرایط مرزی مختلف مورد توجه قرار گرفت.
تعداد زیادی از محققین، از روش المان محدود در بررسی ارتعاش آزاد ورق‌ها بهره جستند. به عنوان مثال راک و هینتون ]‌[59 ، المان‌های خمشی چهار ضلعی هم پارامتری را به منظور تحلیل ارتعاش ورق‌های ضخیم ونازک معرفی نمودند. چونگ و کواک [12] ، المان‌های حلقوی و قطاع شکل را برای مطالعه ارتعاش آزاد ورق‌های لایه‌لایه‌ای ضخیم با مرزهای منحنی شکل توسعه دادند. ردی و کوپاسامی[13]  ، روش المان محدودی را براساس تئوری الاستیسیته سه بعدی برای ارتعاش آزاد ورق‌های لایه‌لایه‌‌ای ناهمسانگرد مستطیلی ارائه داد.
روش نوار محدود [4] FSMنیز به عنوان یکی از روش‌های پرکاربرد در زمینه حل مسایل مقادیر ویژه توسط بسیاری از محققین مورد استفاده قرار گرفته است. در مرجع [14] از تئوری‌های تغییر شکل برشی برای بررسی مسایل ارتعاش آزاد ورق‌های مرکب لایه‌لایه استفاده شده است.
میدان جابجایی و تنش‌های عرضی، به‌دلیل حفظ شرایط همسازی و تعادل از شرایط پیوستگی نوع  در راستای ضخامت ورق برخوردارند. بر این اساس، تئوری‌های مختلفی برای مسایل ورق و پوسته‌ها توسط محققین ارائه شده است. از میان انبوه تئوری‌های موجود، آن دسته از تئوری‌هایی که متغیرهای مجهول آن‌ ها از جنس جابجایی هستند، براساس چگونگی تعریف مولفه‌های میدان جابجایی و مدل‌سازی پیوستگی بین لایه‌ها در دو گروه طبقه‌بندی می‌شوند.
الف) تئوری های لایه لایه ای
در این دسته از تئوری‌ها، میدان جابجایی درهر لایه به صورت مستقل تعریف می‌شود. بنابراین در لایه ام خواهیم داشت:
تعداد متغیرهای مجهول در این نوع فرمول‌‌سازی، بستگی به مقدار لایه‌ها دارد. معادله‌های حاکم برای هر لایه به صورت جداگانه نوشته می‌شود و شرایط مرزی بین لایه‌ای مرتبط با تنش‌ها و تغییر شکل‌ها به عنوان شرط‌های اضافی اعمال می‌گردند.
در صورت اهمیت جزئیات رفتار هر یک از لایه‌ها به‌صورت جداگانه و یا احتمال بروز تغییرات شدید گرادیان مولفه‌های میدان جابجایی در بین لایه‌ها، لزوم استفاده از تئوری‌های لایه‌لایه‌ای قابل توجیه است. اگرچه کاربرد آن‌ ها منجر به افزایش تعداد مجهول‌های مساله و پیچیدگی بیشتر آن می‌گردد. تئوری‌های لایه‌لایه‌ای برخلاف تئوری‌های تک‌لایه معادل، امکان ارضای پیوستگی تنش‌های عرضی در مرز بین لایه‌ها را فراهم می‌سازد. این تئوری‌ها به دو دسته عمده تقسیم می شوند:
1) تئوری‌های لایه‌لایه‌ای جزیی[1]
دراین تئوری‌ها توزیع لایه‌ای تنها برای مولفه‌های درون-صفحه‌ای میدان جابجایی در نظر گرفته می‌شود.
2) تئوری‌های لایه‌لایه‌ای کامل[2]
که در آن هر سه مولفه جابجایی در هر لایه به صورت جداگانه تعریف می‌شوند.
تئوری‌های لایه‌لایه‌ای قابلیت بیان تغییرات زیگزاگی مولفه‌های جابجایی درون-صفحه‌ای را در راستای ضخامت ورق دارند. این رفتار زیگزاگی در ورق‌های لایه‌لایه‌ای ضخیم آشکارتر است، به دلیل این‌که در آن‌ ها مدول برشی عرضی تغییرات شدیدی در راستای ضخامت ورق دارد. تعداد بسیاری از این دسته از تئوری‌ها در مراجع ]‌[59 و ]‌[6 یافت می‌شود. به‌عنوان نمونه، کو و همکاران ] [8، تئوری لایه‌لایه‌ای درجه‌های بالایی را به فرم زیر برای آنالیز دینامیکی ورق‌های لایه‌لایه‌‌ای به‌کار برده‌اند. نثیر و همکاران، [7]  شکل تعمیم‌یافته‌ای از این نوع تئوری‌ها را با بیان متغیرهای جابجایی براساس چند‌جمله‌ای‌های لاگرانژی ارائه دادند.
[1] Partial layer wise theories
[2] Full layer wise theories
[1] First-order shear deformation theory
[2] Higher-order shear deformation theory
[3] Classical laminated plate theory
[4] Finite Strip method

:
وجود عیوب به شکل ترک ها و حفره ها  در مواد کامپوزیت ناحیه هایی  با تغییرات تنش زیاد ایجاد می کنند. این نواحی عمده ترین مکان برای پیدایش مد های مختلف شکست در سازه ها می باشند حتی اگر بارگذاری اعمال شده درحد متوسط باشد. بنابراین تحلیل تنش در مجاورت عیوب به عنوان اولین مرحله در فرایند طراحی ضروری است.
در مسایل الاستیسیته پاد صفحه ای استفاده از روش نابجایی پاد صفحه ای برای بدست آوردن راه حل هایی برای مسایل ترک در محیط های نامحدود یا نیمه نامحدود، یک کار معمول می باشد. این موضوع به این خاطر است که حل نابجایی همانند یک حل تابع گرین برای مسایل اصلی ترک می باشد.
تحلیل تنش در محیط های تضعیف شده توسط مجموعه ای از ترک ها و حفره ها از دیر باز مورد توجه محققین بوده است. از جمله تکنیک های موثر در تحلیل مذکور استفاده از روش توزیع نابجایی می باشد. تحقیقات انجام شده نشان داده است که از دیدگاه ریاضی ترک را می توان به صورت مجموعه ای از نابجایی ها در نظر گرفت و با بهره گرفتن از اصل جمع آثار حرکت نسبی لبه های ترک نسبت به یکدیگر و در نتیجه ضریب شدت تنش را محاسبه نمود. در حقیقت توانایی حل نابجایی در حل مسائل مکانیک شکست خطی به قدرتمندی حل گرین در حل معادلات دیفرانسیل می باشد. در این پایان نامه در ابتدا میدان تنش و تغیر مکان در مناطق متفاوت در اثر نابجایی پاد صفحه ای ولترا محاسبه می گردد تا در نهایت برای تحلیل تنش محیط های حاوی ترک و حفره مورد استفاده قرار گیرد. مناطقی که مورد بررسی قرار می گیرند عبارتند از صفحه مستطیل شکل با شرایط مرزی دو لبه آزاد و دو لبه گیر دار، صفحه مستطیل شکل با هر چهار لبه آزاد، صفحه مستطیل شکل با یک لبه آزاد و سه لبه گیر دار و صفحه مستطیل شکل با سه لبه آزاد و یک لبه گیر دار.
بعد از بدست آوردن حل نابجایی در این محیط ها میدان تنش بدون در نظر گرفتن ترک و حفره فقط در اثر بارگذاری خارجی در این محیط ها بدست می آید. از حل های بدست آمده برای تحلیل تنش در محیط های شامل ترک و حفره استفاده می شود. در مورد حفره نشان داده می شود که حفره را می توان بصورت ترک بسته و بدون تکینگی در نظر گرفت و با اعمال شرایط مناسب تنش محیطی را روی آن بدست آورد.
مسائل مربوط به صفحه مستطیل شکل عبارتند از :
تحلیل یک ترک مستقیم احاطه شده، تحلیل دو ترک مستقیم احاطه شده و یک حفره بیضوی، تحلیل یک ترک مستقیم احاطه شده و یک ترک مستقیم لبه ای به همراه یک حفره بیضوی
هر یک از مثال های فوق یکبار برای صفحه مستطیل شکل با دو لبه آزاد و دو لبه گیر دار، صفحه مستطیل شکل با یک لبه آزاد و سه لبه گیر دار و نیز صفحه مستطیل شکل با سه لبه آزاد و یک لبه گیر دار که شرایط بار گذاری یکسانی دارند، حل شده اند و یکبار نیز برای صفحه

 مستطیل شکل با چهار لبه آزاد که شرایط بار گذاری آن با سه حالت مذکور متفاوت است، حل شده اند.

برای مقایسه جواب های بدست آمده با مراجع موجود، مسئله یک صفحه مستطیل شکل با هر چهار لبه آزاد که توسط دو ترک مستقیم و یک حفره بیضوی تضعیف شده است حل گردید. پس از میل دادن طول صفحه مستطیل شکل با هر چهار لبه آزاد به بی نهایت و اعمال شرایط بارگذاری یکسان، حل بدست آمده برای صفحه مستطیل شکل با هر چهار لبه آزاد با حل بدست آمده برای باریکه دقیقا مطابقت داشت.
شرایط بارگذاری برای صفحات مستطیل شکل که چهار لبه آن آزاد نیست بصورت نقطه ای روی لبه بالایی صفحه مستطیل شکل می باشد و برای صفحه مستطیل شکل با هر چهار لبه آزاد بصورت چهار بار نقطه ای که شرایط خود تعادلی صفحه مستطیل شکل را ارضا می کنند، می باشد.   
فصل دوم: مرور مطالعاتی و پیشینه کار
مرور کارهای پیشین:
تنها مطالعات اندکی روی مسائل الاستیسیته­ درمحیط های ­محدود وجود ­دارد که از آن جمله می توان به تحلیل تنش پاد صفحه ای گوه محدود تضعیف شده توسط حفره ها اشاره نمود که توسط فعال[1] و همکاران صورت گرفته است []. بنابراین مسایل ترک در صفحه مستطیل شکل ارتوتروپیک به عنوان یک محیط محدود می تواند موضوع یک بررسی جدید باشد. به علت کمبود مطالعات ارزشمند در باره مسایل ترک در صفحه مستطیل شکل، مطالعات انجام شده روی باریکه به عنوان یک محیط نیمه محدود که شبیه ترین هندسه به صفحه مستطیل شکل را دارد مورد بررسی قرار می گیرند.
تحلیل تنش در یک باریکه شامل ترک ها تحت تغییر شکل پاد صفحه ای، موضوع بررسی های مختلفی بوده است. برخی از مقالات مرتبط اینجا آورده شده اند. ژو[2] و همکاران[] میدان تنش در مجاورت دو ترک همراستای عمود بر لبه های باریکه ایزوتروپیک را بررسی کردند. در این مسئله ترک ها نسبت به خط مرکزی باریکه متقارن بودند و در معرض بارگذاری پاد صفحه ای قرار داشتند. لی[3] [] یک راه حل تحلیلی بسته برای مسئله باریکه ذکر شده در بالا بدست آورد با این تفاوت که باریکه ارتوتروپیک بود. تحلیل تنش در یک باریکه ایزوتروپیک تضعیف شده توسط دو ترک همراستای قرار گرفته روی خط مرکزی باریکه وتحت برش پاد صفحه ای توسط ژو و ما[4] [] انجام شد.
در مقالات ذکر شده، کاربرد شرایط مرزی منجر به یک مجموعه از معادلات انتگرالی می شود که توسط روش اشمیت[5] حل می شوند. وو و دزینس[6] [] یک راه حل تحلیلی برای محاسبه
ضرایب شدت تنش مد سوم مکانیک شکست مربوط به یک ترک لبه ای واقع در فصل مشترک دو باریکه ایزوتروپیک نا متشابه را بدست آورند. در مقاله دیگری لی[] یک ترک واقع در فصل مشترک بین دو باریکه نا متشابه ارتوتروپیک که سطح ترک تحت بارگذاری پاد صفحه ای بود را در نظر گرفت و ضرایب شدت تنش به صورت تحلیلی برای باریکه تحت بار گذاری پاد صفحه ای بدست آمدند.
تغییر شکل پاد صفحه ای باریکه ارتوتروپیک با چندین ترک و حفره توسط فعال [] بدست آمده است. در این مقاله تحلیل تنش در یک باریکه ارتوتروپیک شامل یک نابجایی از نوع ولترا انجام شده و با بهره گرفتن از حل نابجایی، معادلات ا­نتگرالی برای یک باریکه تضعیف شده توسط ترک ها و حفره ها تحت بارگذاری پاد صفحه ای بدست آمده است. با حل این معادلات انتگرالی ضرایب شدت تنش در نوک های ترکها و تنش محیطی بی بعد روی مرز های حفره ها بدست آمده است.
در این پایان نامه یک صفحه مستطیل شکل ارتوتروپیک در نظر گرفته می شود. میدان های جابجایی و تنش ایجاد شده توسط یک نابجایی پاد صفحه ای از نوع ولترا در صفحه مستطیل شکل توسط روش جداسازی متغیر ها بدست آورده می شود. حل نابجایی برای فرمول بندی معادلات انتگرالی برای یافتن دانسیته نابجایی نا معلوم روی ترک های منحنی در صفحه مستطیل شکل به کار برده می شود. معادلات ا­نتگرالی به طور همزمان حل می شوند تا تابع دانسیته نابجایی توسط تعمیم روش ارائه شده توسط اردوان[7]  []برای در نظر گرفتن همزمان حفره ها و ترک های احاطه شده در صفحه مستطیل شکل و ترکهای لبه ای بدست آید. این روش توسط فعال و همکارانش[] معرفی شده که حفره ها را به عنوان ترک های منحنی شکل احاطه شده و بسته اما بدون تکینگی در نظر گرفته می گیرد. دانسیته نابجایی برای تعیین تنش محیطی روی سطح حفره ها بکار برده می شود.
 ضریب شدت تنش روی ترک ها و همچنین تنش محیطی برای حفره ها توسط مثال های مختلف بدست آورده می شوند.
[1] Faal
[2] Zhou
[3] Li
[4] Zhou and Ma
[5] Schmidt
[6] Wu and Dzeins
[7] Erdogan