وبلاگ

ریاضیات فازی برای نخستین بار توسط پرفسور لطفی عسگرزاده در سال ۱۹۶۵ مطرح گردید. از زمان ارائه آن تا کنون، گسترش و تعمیق زیادی یافته و کاربردهای گوناگونی در زمینه ­های مختلف پیدا کرده است.

 

معرفی ریاضیات فازی مقدمات مدل­سازی داده ­های نادقیق و تقریبی با معادلات ریاضی را فراهم نمود، که در نوع خود تحولی عظیم در ریاضیات و منطق کلاسیک به­وجود آورد. ریاضیات فازی با این عبارت، توسط پروفسور لطفی عسگرزاده مطرح شد:

 

« ما نیازمند یک نوع دیگری از ریاضیات هستیم تا بتوانیم ابهامات و عدم دقت رویدادها را مدل­سازی نماییم، مدلی که متفاوت از نظریه احتمالات است. »

 

برای بیان تشریح عدم قطعیت و دقت در داده ­های نادقیق، ریاضیات فازی به­کار می­رود، که بر اساس منطق چند ارزشی به­وجود آمده است.

 

منطق فازی در واقع تکامل یافته و عمومی شده منطق کلاسیک است. در منطق کلاسیک که منطق دو ارزشی است، هر گزاره می ­تواند درست یا نادرست باشد. در حالی که منطق فازی، یک منطق چند ارزشی است و ارزش درستی هرگزاره می ­تواند عددی بین صفر و یک باشد. لذا قضاوت تقریبی و نادقیق با به­ کارگیری منطق فازی ممکن می­ شود.

 

به بیان ساده­تر، نظریه مجموعه­های فازی نظریه­ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان. این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستم­هایی را که نادقیق و مبهم هستند، همان­گونه که در دنیای واقعیت نیز اکثر پدیده ­ها بدین­صورت می­باشند، صورت ریاضی بخشیده و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم ­گیری در شرایط عدم اطمینان آن­ها فراهم آورد. به عبارت دیگر نظریه مجموعه­های فازی تعمیمی از نظریه مجموعه­های معمولی می­باشد.

 

همان­طور که می دانیم در نظریه مجموعه­ها که زیربنای ریاضیات مدرن است، مجموعه­ها به صورت گردایه­ای معین از اشیاء تعریف می­شوند.

 

به عبارت دیگر هر مجموعه با یک ویژگی خوش­تعریف مشخص می­ شود اگر یک شیء مفروض دارای آن ویژگی باشد، عضو مجموعه­ی متناظر است و اگر نباشد، عضو آن نیست.

 

به عنوان مثال اگر مجموعه­ی مرجع X ، مجموعه­ی اعداد حقیقی فرض شود  و P ویژگی (( بزرگ­تر از ده بودن ))، آنگاه P یک ویژگی خوش­تعریف است که یک مجموعه مثلاً A با آن متناظر می­ شود، زیرا برای هر عدد از مجموعه­ی اعداد حقیقی می­توان با قاطعیت گفت که آیا آن عدد بزرگ­تر از ده است یا خیر و بنابراین عضو A است یا خیر؟

 

 

 

حال فرض کنید بخواهیم درباره آن دسته از مجموعه­ی اعداد حقیقی صحبت کنیم که (( بزرگ )) باشند. در این­جا با یک ویژگی ناخوش­تعریف و مبهم یعنی (( بزرگ )) سروکار داریم. این­که چه اعدادی بزرگ بوده و چه اعدادی بزرگ نیستند، بسته به نظر افراد مختلف فرق می­ کند.

 

به عبارت دیگر عضویت و یا عدم عضویت اعداد مختلف در گردایه­ای با ویژگی

 

(( بزرگ بودن )) قطعی نیست.  به عنوان مثال آیا ۱۰۰ عددی (( بزرگ )) است و عضو گردایه­ی اعداد حقیقی بزرگ است یا خیر؟ ۱۰۰۰ چطور؟ ۱۰۰۰۰۰۰ چطور؟

 

 می بینیم که ویژگی (( بزرگ بودن )) برای اعداد حقیقی یک ویژگی دقیق و معین نیست و بنابراین جامه­ی نظریه­ی معمولی مجموعه­ها بر تن این­گونه مفاهیم راست نمی ­آید و این نظریه از صورت­بندی این مفاهیم و ویژگی­ها ناتوان است. از قضا بیشتر مفاهیم و ویژگی­هایی که در زندگی روزمره و واقعی و نیز در شاخه­های مختلف علوم به­ویژه علوم انسانی و اجتماعی با آن سروکارداریم این­گونه­اند.

 

یعنی مفاهیمی هستند منعطف و مجموعه­هایی هستند با کران­های نادقیق. برای مثال ما در زندگی واقعی کمتر ازکودکان بلندقدتر از( ۱۱۰ cm )، زمین­های بزرگ­تر از ( ۱۰ هکتار )، مسافت­های طولانی­تر از ( ۱۰۰ km ) و … صحبت می کنیم بلکه فهم و زبان طبیعی ما بیشتر با  مفاهیمی مانند کودکان بلندقد ( یا کوتاه­قد، خیلی کوتاه و … )، زمین­­های وسیع ( کوچک، خیلی وسیع و … )، اجناس گران ( ارزان، خیلی ارزان، تقریباً گران، … ) سروکار دارد . همچنین در علوم به­ویژه علوم انسانی و اجتماعی به­جای صحبت از کشورهای دارای ۱۰۰۰ کارخانه به بالا، شهرهای با جمعیت بیشتر از ۱۰۰۰۰۰۰ نفر و  …  ، با مفاهیم و عباراتی نظیر جوامع پیشرفته صنعتی، فرهنگ­های بومی، تراکم جمعیت زیاد، کودکان کندذهن و  …  سروکار داریم. هیچ­کدام از این مفاهیم وتعاریف، تعاریف دقیقی نیستند که به­توان برای هر کدام مجموعه­هایی دقیق را تصور کرد.

 

در قلمرو ریاضیات و نظریه مجموعه­های کلاسیک جایی برای این مفاهیم نیست و قالبی برای صورت­بندی این مفاهیم و ابزاری برای تجزیه وتحلیل آنها وجود ندارد.

 

نظریه­ی مجموعه­های فازی یک قالب جدید ریاضی برای صورت­بندی و تجزیه و تحلیل این مفاهیم و ویژگی­هاست. این نظریه، تعمیم و گسترش طبیعی نظریه­ی مجموعه­های معمولی است، که موافق با زبان و فهم طبیعی انسان­ها نیز می­باشد.

 

اکنون سعی می­کنیم با پیگیری مثال فوق درمورد (( اعداد حقیقی بزرگ )) نظریه مجموعه­های فازی را با بیانی ساده و مختصر مطرح نماییم.

 

همان­طور که ملاحظه می­ شود، آن­چه در مجموعه (( بزرگ )) بودن اشکال ایجاد می­ کند، معلوم­نبودن عضویت و یا عدم عضویت اعداد در گردایه­ی (( اعداد بزرگ )) است. بنابر پیشنهاد پرفسور­زاده در مجموعه­ی فازی که برای (( اعداد حقیقی بزرگ )) در نظر می­گیریم؛ به هر عدد از مجموعه­ی اعداد حقیقی، عددی از بازه ی [۰,۱] به عنوان درجه­ بزرگی آن عدد نسبت می­دهیم.

 

هر چه یک عدد بزرگ­تر باشد ؛ عدد متناظری که برای عضویت آن در A ((مجموعه اعداد بزرگ )) در نظر گرفته می­ شود به یک نزدیک­تر است. و به­عکس هر چه عدد مورد نظر کوچک­تر باشد؛ عدد مربوط به عضویت آن در A، به صفر نزدیک­تر خواهد بود. به این­ترتیب به­جای این­که بگوییم عدد ۱۰۰۰ بزرگ می­باشد یا خیر، و یا آن­که در این باره ساکت باشیم؛ می­گوییم:

 

درجه ی بزرگی آن، به عنوان مثال ۰/۷ است. به بیان ساده­تر به­جای آن­که بگوییم، عدد ۱۰۰۰ عضو A هست یا خیر، می­گوییم:

 

عدد ۱۰۰۰ با درجه ۰/۷ عضو A می باشد.

 

 بنابراین ما در این مثال برای هر عدد حقیقی از R ، عددی از بازه­ی  را به عنوان درجه عضویت و تعلق از A نسبت می­دهیم. یعنی یک تابع در نظر بگیریم که قلمرو آن R و بُرد آن [۰,۱] باشد.

 

ملاحظه فرمودید که، موفق شدیم به یک قالب ریاضی دست­یابیم؛ به دیگر سخن، یک تابع از R به [۰,۱] برای توصیف و تجزیه و تحلیل (( اعداد حقیقی بزرگ )) معرفی نمودیم.

 

همان­طور که مشاهده نموده­اید، اساس روش ِ بیان­شده در بالا چیزی نیست جز؛ گسترش مفهوم تابع نشانگر ِ یک مجموعه، یعنی بُرد آن­را از {۰,۱}  به [۰,۱] افزایش دادیم.

 

به دیگر سخن؛ در مجموعه­های فازی تابعیت هر عنصر در یک مجموعه بر حسب درجه­ عضویت آن در مجموعه مذکور است. این دیدگاه پایه و اساس مجموعه­ها و منطق فازی بوده که پرفسور لطفی عسگرزاده مطرح نمود.

 

از پیدایش  تئوری فازی تقریبا ً چهار دهه می­گذرد. هرچند درابتدا این تئوری با مقاومت­های گوناگون مواجه شد، لیکن امروزه در اکثر مراکز علمی و دانشگاهی، تجاری، صنعتی و حتی سیاسی مورد توجه دانشمندان، کارشناسان و مدیران قرار گرفته است. کاربردهای تئوری فازی فراوان بوده؛ و در رشته­های مختلفی از جمله هوشِ مصنوعی، سیستم­های خبره، سیستم­های­اطلاعاتی، علوم کامپیوتر، مهندسی برق و الکترونیک، مهندسی کنترل، برنامه ­ریزی، تئوری تصمیم، منطق، مدیریت علمی، تحقیق­درعملیات، رباتیک، اقتصاد، علومِ پزشکی، روانشناسی، جامعه ­شناسی ، برنامه ­ریزی تولید، برنامه ­ریزی زمانبندی و … این کاربردها را می­توان به­وفور مشاهده نمود.

 

به این­ترتیب؛ می­توان بسیاری از مفاهیم بیگانه با ریاضیات را وارد دنیای ریاضیات کرده، تفکرات و مفاهیم و زبان و منطق بشری را در یک ساختار ریاضی نظم و ترتیب داد.

 

در فصل حاضر، تعاریف و مفاهیم مقدماتی نظریه­ی مجموعه­های فازی را مطرح و بررسی می­نماییم.