وبلاگ

بدون آنکه چیزی از معادلات دیفرانسیل و روش­های حل آن­ها بدانیم، ارزیابی این شاخه مهم ریاضیات دشوار است. علاوه بر این پیشرفت نظریه معادلات دیفرانسیل با پیشرفت کلی ریاضیات به هم پیوند خورده است و نمی ­تواند از آن جدا باشد.

معادلات دیفرانسیل زیادی که جواب­های آن­ها با روش­های تحلیلی بدست نمی­آیند به بررسی در روش­های تقریب عددی منجر شده ­اند. پیش از سال 1900 روش­های انتگرال­گیری عددی نسبتاً مؤثری ابداع شده بودند ولی پیاده کردن آن­ها به علت نیاز به انجام محاسبات با دست یا با وسایل محاسبه خیلی ابتدایی بی­اندازه محدود بود. در پنجاه سال اخیر توسعه روزافزون رایانه­های چند منظوره پر قدرت دامنه مسائلی را که می­توان به نحوی مؤثر با روش­های عددی بررسی کرد بی­اندازه وسعت بخشیده است.

کار مهم دیگر در زمینه معادلات دیفرانسیل در سده بیستم، ایجاد روش­های هندسی یا توپولوژیکی، بویژه برای معادلات غیر­خطی است. هدف این است که حداقل رفتار کیفی جواب­ها را از دیدگاه هندسی و نیز تحلیلی درک کنیم. اگر اطلاعات تفضیلی بیشتری لازم باشد، معمولاًمی­توان از تقریب عددی استفاده کرد. در چند سال اخیر، این دو روند به هم پیوسته­اند. رایانه­ها، و بویژه نمودارهای رایانه­یی، برای مطالعه دستگاه معادلات دیفرانسیل غیر­خطی نیروی محرکه جدیدی به شمار می­روند. پدیده­های غیر منتظره­ای کشف شده ­اند که با اصطلاحاتی نظیر جاذبه­های عجیب، آشوب­ها، و بر خال­ها به آن­ها اشاره می­ شود و با جدیت مورد بررسی قرار گرفته­اندکه در برخی از

 کاربردها به شناخت­های جدید و مهمی منجر شده ­اند. هر چند معادلات دیفرانسیل موضوعی قدیمی است، که اطلاعات زیادی از آن در دست است، ولی در طلیعه سده بیست و یکم این موضوع همچنان منبعی پر بار از مسائل حل نشده مهم و جالبی مانده است.

رایانه می­تواند وسیله ارزشمندی در مطالعه معادلات دیفرانسیل باشد. سال­ها از رایانه­ها برای اجرای الگوریتم­های عددی استفاده می­شد تا تقریب­های عددی برای جواب­های معادلات دیفرانسیل به دست آورند. در حال حاضر این الگوریتم ها تکامل یافته و در تعمیم و کار آیی به سطح بسیار بالایی رسیده ­اند. چند سطر از رمز رایانه­یی، که با زبان سطح بالایی در یک رایانه نسبتاً ارزان نوشته و اجرا شده باشد. (اغلب در مدت چند ثانیه) برای حل عددی رشته وسیعی از معادلات دیفرانسیل کافی است. در بیشتر مراکز رایانه­یی روال­های عادی پیشرفته­تر در دسترس­اند. توانایی این روال­ها ترکیبی هستند از توانایی پرداختن به دستگاه خیلی بزرگ و پیچیده و چندین ویژگی مفید برای تشخیص که کاربر را با مسائلی که ممکن است با آن­ها مواجه شود آگاه   می­سازند. خروجی معمولی از یک الگوریتم عددی جدولی از اعداد شامل مقادیر برگزیده متغیر مستقل و مقادیر متناظر متغیرهای وابسته است. با امکانات گرافیک رایانه­یی مناسب، می­توان به سادگی جواب یک معادله دیفرانسیل را به طریق نموداری نمایش داد، خواه جواب به طریق عددی حاصل شده باشد یا خواه نوعی از روش تحلیلی. این گونه نمایش نموداری اغلب برای درک و تعبیر جواب یک معادله دیفرانسیل مفیدتر و روشنگرتر از جدولی از اعداد یا یک فرمول تحلیلی پیچیده است.[1و2]