وبلاگ

این فصل را به مفاهیمی از مکانیک کوانتومی اختصاص می دهیم که در محاسبات مورد نیاز هستند. هدف از این کار آشنایی با مسیری مشخص برای مطالعه پدیده دوپایایی نوری است، نه مطالعه قوانین کوانتومی، لذا در بعضی موارد به ذکر مختصری از قوانین مکانیک کوانتومی اکتفا می­ شود. سعی می­ شود آنجایی که نقش مهمی در محاسبات بعدی را دارد، بیشتر توضیح داده می­ شود.

 

1-1 اختلال

 

یکی از قوانین اسا سی مکانیک کوانتومی اینست که می توان تمام ویژگیهای یک سیستم اتمی را بر اساس تابع موج اتمی توصیف کرد که از معادله شرودینگر بصورت زیر بدست می­آیند:

 

(1-1)

 

ویژه حالتهای یک سیستم اتمی و همچنین ویژه مقادیر یک سیستم اتمی را می توان از معادله شرودینگر بدست آورد.

 

عملگر هامیلتونی است که برای یک سیستم اتمی دارای برهمکنش، شامل دو جمله خواهدبود.

 

(1-2)

 

هامیلتونی اتم آزاد و  هامیلتونی برهمکنش اتم است.  پارامتر اختلال نامیده می شود که بیانگر شدت اختلال است و عددی بین صفر تا یک را دارد.  برای یک بر همکنش کامل در نظر گرفته می شود.

 

درصورتی که اتم بدون برهمکنش در نظرگرفته شود، جوابهای معادله شرودینگر بصورت زیر هستند:

 

(1-3)

 

که شامل دو قسمت زمانی و فضایی است. قسمت فضایی در معادله ویژه مقداری زیر که معادله مستقل از زمان شرودینگر نامیده می شود، صدق می کند

 

(1-4)

 

و  ویژه مقادیر معین انرژی اتم هستند.

 

جوابهای قسمت فضایی یک مجموعه متعامد کاملی را تشکیل می دهند و شرط تعامد زیر را ارضاء می­ کنند

 

(1-5)

 

برای یک اتم در برهمکنش با میدان الکتریکی، هامیلتونی برهمکنشی بصورت زیر می باشد:

 

(1-6)

 

که  گشتاور دوقطبی اتم است و بصورت زیر تعریف می­ شود:

 

(1-7)

 

جوابهای معادله شرودینگر با در نظر گرفتن اختلال بصورت زیر است:

 

(1-8)

 

قسمتی از جواب معادله شرودینگر است که در انرژی بر همکنش  از مرتبه  ام است.

 

برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جواب معادله شرودینگر معادله ( 1- 8) را در معادله ( 1- 1) قرار می دهیم و تمام جملات متناسب با توان یکسان از   را مساوی هم قرار می دهیم، برای    ی با توان صفر داریم:

 

(1-9)

 

که جواب معادله شرودینگر  برای اتم بدون برهمکنش است. برای سایر مرتبه های اختلال، یک جواب کلی به صورت زیر بدست می آید:

 

(1-10)

 

فرض می کنیم جواب معادله شرودینگر در غیاب جمله برهمکنشی بصورت زیر است:

 

(1-11)

http://zusa.ir/%d8%af%d8%a7%d9%86%d9%84%d9%88%d8%af-%d9%be%d8%a7%db%8c%d8%a7%d9%86-%d9%86%d8%a7%d9%85%d9%87-%d8%a7%d8%b1%d8%b4%d8%af-%d8%a8%d8%b1%d8%b1%d8%b3%db%8c-%d9%be%d8%af%db%8c%d8%af%d9%87-%d8%af%d9%88%d9%be/

 

 

که در اینجا  و  ویژه مقدار انرژی و ویژه تابع فضایی اتم در حالت پایه می باشند. با توجه به اینکه ویژه توابع انرژی اتم بدون برهمکنش مجموعه کامل و متعامدی را تشکیل می دهند و می توان هرتابعی را بر حسب آنها بسط داد، تابع موج مرتبه  ام از برهم کنش را به وسیله آنها می­توان بصورت زیر بسط داد.

 

(1-12)

 

که ضریب  ، دامنه احتمال آن است که اتم در مرتبه  ام اختلال، در لحظه  و در ویژه حالت  باشد.

 

با قرار دادن معادله ( 1- 12) در معادله ( 1- 10) ، دستگاه معادلاتی بر حسب دامنه های احتمال بدست می آید:

 

(1-13)

 

این معادله دامنه های احتمال مرتبه  ام را به دامنه های احتمال مرتبه  ام مرتبط می سازد.

 

با ضرب دوطرف معادله( 1-13) در  و انتگرال روی تمام فضا و با بهره گرفتن از شرط تعامد توابع پایه معادلات زیر بدست می­آیند:

 

(1-14)

 

که در آن  و  به شکل زیر تعریف می­ شود:

 

(1-15)

 

که در واقع عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال هستند.

 

برای مشخص کردن دامنه های مرتبه اول  فرض می کنیم سیستم اتمی در مرتبه صفرم ( بدون اختلال) در حالت پایه،   باشد، در نتیجه  می باشد.

 

با بهره گرفتن از معادلات (1- 3) و ( 1- 15) عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال را بصورت زیر می­توان نوشت:

 

(1-16)

 

که در آن عبارت  به شکل زیر نوشته می­ شود:

 

(1-17)

 

و گشتاور دو قطبی گذار نامیده می شود.

 

حال با جایگذاری روابط اخیر در معادله (1- 14)، دامنه احتمال با بهره گرفتن از انتگرال گیری بدست می­آید، با فرض اینکه حد پایین انتگرال صفر است.

 

 

 

(1-18- الف)

 

(1-18- ب)

 

دوباره از معادله (1- 14) استفاده می کنیم و با بهره گرفتن از دامنه احتمال مرتبه اول، دامنه احتمال مرتبه دوم به دست می­آید:

 

(1-19)

 

این عمل را تکرار می کنیم و دامنه احتمال مرتبه سوم را حساب می کنیم

 

(1-20)

 

و این عمل برای بدست آوردن دامنه احتمال مرتبه های بالاتر، تکرار می­ شود.

 

 

 

1-2 پذیرفتاری

 

نتایج به دست آمده از بخش قبل برای محاسبه پذیرفتاری یا همان ویژگیهای نوری یک سیستم مادی به کار برده می­ شود.

 

مقدار چشمداشتی گشتاور دو قطبی الکتریکی عبارت است از:

 

(1-21)

 

توسط بسط اختلال با  ، بیان می شود، قسمتی از  که رابطه خطی با میدان دارد، با رابطه زیر بیان می­ شود:

 

(1-22)

 

با جایگذاری  و  از روابط (1- 11) ، (1- 12) ، (1- 18)  مقدار چشمداشتی مرتبه اول گشتاور دو قطبی الکتریکی بصورت زیر می شود:

 

(1-23)

 

 

 

بسامد گذار   بصورت موهومی در نظر گرفته شده است و روی تمام قسمتهای مثبت ومنفی بسامد  جمع بسته شده است.

 

اگر در جمله دوم  را به  تغیر دهیم، نتیجه ساده تر خواهد شد.

 

(1-24)

 

 

 

قطبش خطی را بصورت  در نظر می گیریم که  چگالی تعداد اتمهاست. همچنین برای پذیرفتاری خطی داریم:

 

(1-25)

 

 

 

و در نتیجه:

 

(1-26)

 

 

 

قطبش  یا همان گشتاور دوقطبی در واحد حجم ماده بستگی به شدت میدان نوری اعمال شده دارد، در اپتیک خطی این وابستگی خطی است یعنی قطبش متناسب توان اول شدت میدان نوری است، این تناسب با ضریبی بنام پذیرفتاری خطی به تساوی تبدیل می شود.

 

(1-27)

 

در اپتیک غیر خطی قطبش متناسب با توانهای بالاتر شدت میدان نوری اعمال شده خواهد بود و رابطه بین قطبش و میدان نوری به صورت زیر خواهد بود:

 

(1-28)

 

کمیتهای   و  به ترتیب پذیرفتاری نوری غیر خطی مرتبه دوم و سوم هستند.  یک تانسور مرتبه دو و  یک تانسور مرتبه سه و… می باشند. همچنین  قطبش غیر خطی مرتبه دوم و  قطبش غیر خطی مرتبه سوم هستند. پذیرفتاری مرتبه دوم برای بسیاری از مواد قابل صرف نظر کردن است، زیرا برای بلورهای اتفاق می افتد که دارای مرکز تقارن نباشند، در صورتی که بسیاری از مواد دارای مرکز تقارن هستند.