یکی از پدیدههای انتقال حرارت، جابجایی آزاد یا طبیعی است. تغییر چگالیای که بواسطهی گرادیان دما ایجاد می شود منجر به جاری شدن سیال میگردد. حرکت سیال در جابجایی آزاد در مجاورت یک سطح در نتیجه نیروهای شناوری است که به واسطه گرادیان دما اعمالی بر سیال در نزدیکی سطح و تغییرات چگالی سیال میباشد. نیروهای شناوری که موجب جریانهای جابجایی آزاد میشوند را نیروهای حجمی[1] میگویند. تاریخچهی تحقیقات اولیهی که این جریان را در نظر گرفتند، به یک صده قبل باز میگردد. از آن زمان تاکنون داده ها، روابط و تحلیلهایی که بر این جریان حاکم میباشند با رشد فوقالعادهی افزایش پیدا کرده اند. علاقه بیشماری که بشریت به این پدیده نشان میدهد، بازتاب نیاز فوقالعادهی است که بشر به این پدیده جالب و حیاتی احساس میکرده است. اهمیت و تنوعی که در بکارگیری این پدیده در صنعت و محیط اطراف به چشم میآید، نشان بر کاربرد گستردهی این پدیده دارد. این پدیده گاه به تنهایی و گاه با ترکیب شدن با سایر پدیدههای انتقال در انتقال حرارت و جرم بکار گرفته شده است.
از طرفی با توجه به اینکه سیستمهای واقعی فیزیکی یا مسائل مهندسی که بواسطه این پدیده ایجاد میشوند به کمک معادلات پارهای توصیف میشوند، در اکثر حالتها، حل بستهی[2] آنها فوقالعاده سخت است. بدین سبب، روشهای تقریبی عددی به صورت گستردهای برای حل این معادلات، مورد استفاده قرار میگیرند. بیشترین روشهای عددی که برای حل اینگونه مسائل به کار گرفته میشوند، روشهای المان محدود[3]، تفاضل محدود[4] و حجم محدود[5] میباشد این سه روش جز روشهای مرتبهی پایین طبقه بندی میشوند. روشهای مرتبهی پایین برای بدست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گرههای محاسباتی بالایی هستند. در مسایلی که چند بعد محاسباتی دارد نیاز به ظرفیت محاسباتی بالا برای حفظ دقت محاسبات بیشتر نمود پیدا می کند. بنابراین محققین تلاش هایی به منظور دستیابی به روشهایی که با تعداد گرههای محاسباتی کم، منجر به نتایجی با دقت بالا گردند را آغاز کردند. از این روشها تحت عنوان روشهای مرتبهی بالا یاد می شود. از جمله ماحصل این تلاشها میتوان به روشهای طیفی[6] و مربعات دیفرانسیل[7] اشاره کرد. همانگونه که گفته شد یکی از مزایای این روش دستیابی به دقت محاسباتی مناسب در عین کم بودن تعداد گرههای محاسباتی است.
روش مربعات دیفرانسیل برای اولین بار توسط ریچارد بلمن و همکارنش در اوایل دهه 70 میلادی به کار گرفته شده است. روش مربعات دیفرانسیل برگرفته شده از روش انتگرالگیری مربعی[8] میباشد. در این روش مقدار مشتق تابع در هر نقطه را با بهره گرفتن از مجموع حاصلضرب مقادیر تابع در مقادیر وزنی مرتبط در طول راستای مورد نظر تقریب میزنند. نکتهی کلیدی در بکار بردن این روش، تعیین ضرایب وزنی است. بدلیل محدودیتهایی که در اعمال روشهای اولیهی تعیین ضرایب وزنی وجود داشت، این روش تا سالهای متمادی کمتر مورد استفاده قرار گرفت. تا اینکه پژوهشهایی که محققین در اواخر دهه80 و اوایل دهه 90 به منظور پیدا کردن ضرایب وزنی سادهتر انجام دادند، منجر به معرفی این روش به عنوان ابزار عددی قدرتمندی در دو دهه اخیر شد.
با افزایش استفاده از این روش در سالیان اخیر محققین بنا به نیازی که احساس میکردند، روشهای دیگری را از روش مربعات دیفرانسیل استخراج کردند که یکی از این روشها مربعات دیفرانسیل تکهای[9] است. این روش در مسایلی که تغییرات گرادیان متغییری شدید و یا در مسایلی با شرایط مرزی متغیر، کارایی بالایی دارد. ایده روش مربعات دیفرانسیل تکهای در سال 2006 در مدلسازی امواج در آبهای کم عمق بکار گرفته شد. اصول این روش بر پایه تکه تکه کردن دامنه محاسباتی بر زیر دامنهها و اعمال روش مربعات دیفرانسیل بر هر زیر دامنه است.
در این پایان نامه جریان جابجایی آزاد گذرا حول کره با ترکیب دو روش مربعات دیفرانسیل و مربعات دیفرانسیل تکهای مورد بررسی قرار گرفته شده است.
2-1- مروری بر کارهای گذشته
جابجایی آزاد بدلیل کاربرد گستردهی که در صنعت و در محیط پیرامون بشر دارد بسیار مورد توجه قرار گرفته است. از طرفی با توجه به معادلات پارهای حاکم بر این پدیده و مشکل بودن ارایهی یک حل تحلیلی برای معادلات حاکم بر این جریان، بشر مجبور به استفاده از روشهای عددی برای حل این جریان شده است. از طرفی، حل عددی معادلات حاکم بر جابجایی آزاد دارای پیچیدگیهایی است. علت این امر وابسته بودن معادله مومنتم به معادله انرژی از طریق نیروی بویانسی است و بنابراین میبایست معادله انرژی و مومنتم باید همزمان حل شوند. از طرفی یکی از عوامل اثر گذار در پیچیدهتر شدن معادلات هندسهی است که جریان بر روی بررسی می شود. به عنوان مثال جریان بر روی کره نسبت به جریان برروی هندسههای چون صفحات اعم از افقی، عمودی یا مایل و حتی استوانههای با همین وضعیت پیچیدهتر میباشد.
در ادامه تعدادی از تحقیقاتی که جریان بر روی هندسههایی چون کره را بررسی کرده اند، معرفی میشوند. گارنر و گرفتن ]1[ به بررسی اثر انتقال جرم بر روی کرهی غیر متخلخل پرداختند. آماتو و چی ]2[ به بررسی اثر جابجایی آزاد اطراف کرهی غوطهور در آب پرداختند. برومهام و میهو]3[ جریان جابجایی آزاد هوا را بر روی کره بررسی کردند. گیولا و کورنیش ]4[ با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود[1] به بررسی جریان و انتقال حرارت اطراف کره پرداختند. سینگاه و حسن ]5[ به بررسی جریان جابجایی آزاد در اطراف کره با گراشفهای پایین پرداختند. هیوانگ و چن ]6[با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود اثر مکش و دمش بر روی کره را بررسی کردند. چن و چن ]7[جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی اطراف کره و استوانه با بهره گرفتن از روش رانگ کوتا[2] مرتبهی چهار مورد مطالعه قرار دادند. جعفرپور و یووانوویچ ]8[ با بهره گرفتن از سریها یک حل نیمه تحلیلی برای جریان جابجایی آزاد بر روی کرهی همدما ارائه دادند. جیا و گوگس ]9[ جریان جابجایی آزاد اطراف کرهی همدما را بررسی کردند. نظر و همکاران ]10[جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار[3] در اطراف کره با شار ثابت مطالعه کردند. ایشان با استفاده روش عددی کلرباکس[4] به حل این مساله پرداختند. نظر و همکاران ]11[ در ادامه کار قبل جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار در اطراف کرهی همدما با بهره گرفتن از همان روش قبل بررسی کردند. مولا و همکاران ]12[ به بررسی اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد در میدان مغناطیسی اطراف کره پرداختند. چنگ ]13[ انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد اطراف کره در مجاورت سیال میکروپولار را با بهره گرفتن از روش جمعآوری اسپیلاین مکعبی[5] بررسی کرد. بگ و همکاران ]14[ به بررسی اثر جذب و تولید حرارت بر جابجایی آزاد اطراف کره درون میدان مغناطیسی که در محیط متخلخلی قرار دارد، پرداختهاند.
تمامی تحقیقات بیان شده، جریان جابجایی آزاد اطراف کره در حالت دایم را بررسی کرده اند. با توجه به اهمیت جریان در مدت زمانی که جریان به حالت دایم برسد و واقعیتر بودن جریان گذرا این جریان مورد توجه پژوهشگرانی واقع شد. از جمله تحقیقاتی عددی یا آزمایشگاهی که جریان خارجی گذرا بر روی هندسههای مختلف بررسی کرده اند، میتوان به کارهای ]15-23[ اشاره کرد. از جمله پژوهشهایی که به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف هندسههایی همچون کره پرداختهاند میتوان به کارهای پژوهشگران زیر اشاره کرد. اینگهام و همکاران ]24[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح همدمای سه بعدی در گراشفهای بالا پرداختند. یان و همکاران ]25[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره در محیط متخلخل دارسی پرداختند و از روش تفاضل محدود برای مدلسازی خود استفاده کردند. سانو و مکینزو ]26[ جریان جابجایی گذرا را اطراف کره در محیط متخلخل در پکلتهای پایین بررسی کردند. تخر و همکاران ]27[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کرهی چرخنده در سیال پرداختند و برای حل این مساله از تفاضل محدود کمک گرفتند. سلوتی و همکاران ]28[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف نقطهی سکون جسم سه بعدی که توسط سیالی خنک میگردد، پرداختند. نیازمند و رینکسیزبولیت ]29[ به بررسی اثر دمش بر روی کرهی چرخنده در سیال پرداختند. آنان از حجم محدود برای حل مسالهی مذکور استفاده کردند. چن ]30[ به بررسی جابجایی آزاد گذرا در مابین کرهی هم مرکز و خارج از مرکز با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود پرداخت. سم اس و ازترک ]31[ به مدلسازی جریان جابجایی اجباری اطراف قطرات سوخت در حالت گذرا پرداختند. ایشان در این مدلسازی قطرات را با کرههای همدما مدل کردند و با کمک سریها این مساله را حل کردند. ینگ و همکارن ]32[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کرهی همدما پرداختند، ایشان برای حل این مساله از روش حجم محدود استفاده کردند. سایتو و همکاران ]33[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با شار ثابت پرداختند و از روش حجم محدود برای مدلسازی استفاده کردند. ژو و همکاران ]34[ با بهره گرفتن از روش هام[6] به ارایهی جوابی نیمه تحلیلی برای برای جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح خمیدهی سهبعدی پرداختهاند.
از طرفی اثر جریان جابجایی آزاد تحت میدان مغناطیسی مورد توجه پژوهشهای بسیاری با گرایش ژیوفیزیک واخترفیزیک شده است. چنین مسالهی در بررسی فرمولهای ژیوفیزیکی، اکتشاف و استحصال نفت، مراکز نگهداری زبالههای زیر زمینی و … میباشد. از طرفی جریانهای مگنتوهیدرودینامیک[7] در مسایل مهندسی مثل سرمایش ژنراتورها، طراحی مبدلهای حرارتی، سرمایش راکتورهای هستهی با سدیم مایع، جریان سنجهای القایی که بر اساس تفاضل پتانسیلی عمود بر جهت حرکت جریان در سیال و میدان مغناطیسی کار می کنند،کاربرد دارند. پژوهشگران ]35-38[ از جمله پژوهشگرانی هستند که اثر میدان مغناطیسی بر جریان دایم روی هندسه های مختلف را بررسی کرده اند. در زمینه اثر میدان مغناطیسی بر جابجایی آزاد گذرا میتوان به کارهای زیر اشاره کرد. هلمی]39[ به مطالعه جریان جابجایی آزاد گذرا در محیط متخلخل بر روی صفحهی عمودی با دمای ثابت با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود پرداخت. تخر ]40[ به مطالعه جریان جابجایی مرکب بر روی مخروط چرخنده با سرعت زاویهی متناسب با زمان در حضور میدان مغناطیسی پرداخت. وی از تفاضل محدود برای حل عددی خویش استفاده کرد. گانسن و پلانی ]41[ جریان جابجایی آزاد بر روی صفحهی نیمه بی نهایت عمودی درمیدان مغناطیسی را با بهره گرفتن از تفاضل محدود بررسی کردند. گانسن و پلانی ]42[ مساله انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد گذرنده از روی یک صفحهی شیبدار با بهره گرفتن از تفاضل محدود را بررسی کردند. روی و انیکامور ]43[ به بررسی جابجایی مرکب گذرا از مخروط دوار که سرعت زاویهی آن متناسب با زمان تغییر می کند، پرداختند و در این حل از روش عددی تفاضل محدود کمک گرفتند. جردن ]44[ اثر اتلافات ویسکوز و تشعشع بر جریان جابجایی آزاد گذرا از روی صفحهی نیمه بینهایت عمودی مورد مطالعه قرار داد. وی از روش شبیهسازی شبکه[8] استفاده کرد. ژو و همکاران ]45[ جریان و انتقال حرارت گذرای درون لایهی مرزی سیال بر روی صفحهی تحت میدان مغناطیسی بررسی کردند. ایشان با بهره گرفتن از روش هام برای ارایهی یک حل نیمه تحلیلی در رابطه با این مساله کمک گرفتند.
الکبیر و همکاران ]46[ به بررسی جریان جابجایی آزاد از روی سطح شیبدار درمحیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی با بهره گرفتن از تحلیل لای گروپ[9] که یک روش نیمه تحلیلی برای حل معادلات پارهی است، پرداختند. دیناروند و همکاران ]47[ اثر نیروی بویانسی و میدان مغناطیسی را بر جریان گذرای لایهی لزج اطراف نقطهی سکون کرهی چرخنده بررسی کردند. ایشان از روش هام برای حل این مساله کمک گرفتند.
اثر تولید حرارت در جریان سیال دارای حرکت در برخی از فرایندهای فیزیکی از اهمیت شایانی برخوردار است که از آن جمله می توان به فرایندهای که حاوی واکنش های شیمیایی می باشند اشاره کرد. این اثر بر روی توزیع دما و نرخ ته نشینی ذرات اثر میگذارد. که کاربرد این اثر را میتوان در کاربردهای مرتبط با راکتورهای هستهای، مدلسازی احتراق، چیپهای الکترونیکی و… مشاهده کرد. واجراولو و هاجینیکلو ]48[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت داخلی بر انتقال حرارت درون لایهی مرزی دایم بر روی صفحهی بینهایت را مورد مطالعه قرار دادند. در این تحقیق ایشان نرخ انتقال حرارت حجمی را به صورت تابع خطی با دما تقریب زدند.
همچنین ایشان در مقالهیشان گزارش دادهاند که تقریب خطی با دما در تقریب برخی از فرایندهای گرمازا معتبر است. سایر محققینی که در زیر به کارهای آنها اشاره میکنیم از جمله پژوهشگرانی هستند که بطور مستقیم و یا غیر مستقیم از مدل نرخ انتقال حرارت حجمی ]48[ استفاده کرده اند. چمخواه ]49[ اثر تشعشع و نیروی بویانسی را بر روی صفحهی مشبک با تولید و یا جذب حرارت بررسی کرد و از روش تفاضل محدود در حل این مساله استفاده کرد. یه ]50[ به بررسی اثر تولید حرارت در محیط متخلخل اطراف کره مشبک درون میدان مغناطیسی همراه با اتلافات ویسکوز و اتلافات ژول پرداخت. ایشان روش حل خود را بر مبنای کلرباکس قرار دادند. کامل ]51[ بحث انتقال حرارت و انتقال جرم گذرا بر روی صفحهی مشبک عمودی در محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی همرا با ترم تولید و جذب حرارت را مورد مطالعه قرار دادند. وی با بهره گرفتن از روش لاپلاس ترانسفورم[10] به ارایهی یک حل تحلیلی برای مسالهی مذکور پرداخت. چمخواه ]52[ جریان سیال تحت میدان مغناطیسی بر روی صفحهی عمودی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت و واکنش شیمیایی مرتبهی اول را مورد مطالعه قرار داد. وی این مساله را کاملا تحلیلی حل می کند. ابوذهب و سالم ]53[ جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی در میدان مغناطیسی بر روی صفحه بررسی کردند. مولا و همکاران ]54[ جریان جابجایی آزاد اطراف کرهی همدما درمیدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله بهره گرفتند. مولا و همکاران ]55[ در کار دیگری اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد اطراف کره با شار ثابت در میدان مغناطیسی را بررسی کردند. روش حل در این مساله نیز کلرباکس انتخاب شده است. مولا و همکاران ]56[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانهی افقی همدما را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری) و عددی (بر مبنای تفاضل محدود) به مطالعه جریان پرداختند. هادی و همکاران ]57[ به بررسی اثر تولید و جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرنده از یک صفحهی عمودی موجدار پرداختند. ایشان از رانگ-کوتا برای حل این مساله کمک گرفتند. عالم و همکاران ]58[ اثر تولید حرارت در اطراف کرهی درون میدان مغناطیسی را مورد مطالعه قرار دادند. برای حل این مساله از کلرباکس کمک گرفتند. محمد و همکاران ]59[ اثر تولید حرارت بر جریان سیال بر روی صفحه درون محیط متخلخل را بررسی کردند.ایشان از اصول المان محدود[11] برای حل مسالهی مذکور استفاده کردند. ابدالخالک ]60[ اثر تولید حرارت بر جریات سیال درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی بر در حوالی نقطهی سکون اجسام دوبعدی را بررسی کرد. وی از روش اغتشاشات[12] برای حل این مساله کمک گرفت. مامون و همکاران ]61[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت را بر انتقال حرارت از صفحهی عمودی در سیال تحت میدان مغناطیسی را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله کمک گرفتند. ابراهیم و همکاران ]62[ مسالهی جریان جابجایی آزاد گذرا از صفحهی مشبک تحت میدان مغناطیسی همراه با واکنش شیمیایی و تولید حرارت را به صورت تحلیلی حل نمودند. مولا و همکاران ]63[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانهی افقی شارثابت را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری) و عددی (برمبنای تفاضل محدود) به مطالعه جریان پرداختند.
در تحقیقات ذکر شده لزجت سیال ثابت در نظر گرفته شده است. واضح است که ثابت گرفتن لزجت سیال تنها فرضی به منظور سادهسازی معادلات میباشد و از لحاظ فیزیکی در اکثر قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمی باشد. پس محققین به ناچار برای پیدا کردن حل دقیقتر و فیزیکیتر جریان به جستجوی مدلهایی برای پیش بینی تغییرات لزجت سیال افتادند. از طرفی با توجه به تغییرات شدیدتری که لزجت سیال با تغییرات دما نسبت به سایر پارامترها از خود نشان میدهد در بیشتر مدلهای در نظر گرفته شده تغییرات لزجت با دما را مشهودتر مورد بررسی قرار دادهاند. در نهایت مدلهای متفاوتی برای مدلسازی لزجت متغیر سیال در نظر گرفته شده است. که این مدلها بسته به نوع سیال و خواص فیزیکی آن با هم متفاوت هستند. از جمله این مدلها میتوان به مدل تغییرات نمایی لزجت با دما که در پژوهشهای ]64-68[ و یا مدل تغییرات خطی لزجت با دما که در ]69-75[ بکار گرفته شده است اشاره کرد. مدل پرکاربرد دیگری که تغییرات لزجت با دما را به خوبی نشان میدهد و در اکثر پژوهشها از آن استفاده شده است، مدل تغییر لزجت با تابع معکوس خطی تغییرات دما است. از جمله کارهایی که در این زمینه انجام شده است میتوان به کارهای این پژوهشگران اشاره کرد. یاو و کاتن ]76[ اثر ویسکوزیتهی متغیر بر لایهی مرزی آب را روی استوانهی افقی بررسی کردند. ایشان از تفاضل محدود در مدلسازی خود استفاده کردند. لینگ و دایب ]77[ اثر تغییرات ویسکوزیته را بر جابجایی اجباری از روی صفحهی تخت درون محیط متخلخل را بررسی کردند. ایشان از جمله اولین محققینی بودند که از این مدل برای طیف متنوعی از سیالات استفاده کردند و در مدل خود از تفاضل محدود استفاده کردند. کار ایشان الگوی سایر محقیقین برای مدل کردن تغییرات لزجت با دما قرار گرفت که در سایر کارهایی که در زیر به آنها اشاره می شود به طور مستقیم و یا غیر مستقیم از ]77[ استفاده کردند. جایانثی و کوماری ]78[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر روی جابجایی آزاد و مرکب در محیط متخلخل بصورت عددی با بهره گرفتن از کلرباکس مورد مطالعه قرار دادند. چنگ ]79[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر جابجایی آزاد بر روی استوانهی افقی همدما را بررسی کرد. وی از روش مجموعهی اسپیلاین مکعبی برای حل این مساله استفاده کرد. مولا و حسین ]80[ به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر انتقال حرارت و انتقال جرم جابجایی آزاد از کرهی همدما با بهره گرفتن از کلرباکس پرداختند. افیفی ]81[ به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر جابجایی آزاد از روی صفحهی عمودی درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی پرداخت. وی از متد تفاضل محدود برای حل معادلات پارهای استفاده کرد. چین و همکارن ]82[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر روی جابجایی مرکب از صفحهی عمودی درون محیط متخلخل بررسی کردند. ایشان برای حل معادلات لایهی مرزی از روش تفاضل محدود کمک گرفتند. چنگ ]83[ با بهره گرفتن از روش مجموعهی اسپیلاین مکعبی به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر جریان روی مخروط ناقص عمودی که در محیط متخلخل قرار دارد، پرداخت. احمد و همکاران ]84[ با بهره گرفتن از روش کلرباکس به حل معادلات پارهی لایهی مرزی جریان جابجایی مرکب اطراف استوانهی همدمای افقی با ویسکوزیتهی متغیر با دما پرداختند.
از طرف دیگر ثابت گرفتن هدایت حرارتی سیال فرضی به منظور سادهسازی معادلات حاکم بر جریان میباشد و با یک سری فرضیات این تقریب می تواند درست باشد اما از لحاظ فیزیکی در قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمی باشد. پس محققین برای بدست آوردن حل فیزیکیتر جریان سعی در به دست آوردن مدلی به منظور تعیین تغییرات هدایت حرارتی سیال با دما کردند. از جمله مدلی که در این پیش بینی بسیار توسط محققین بکار گرفته شده است، مدل تغییر هدایت حرارتی سیال با دما به صورت خطی میباشد که سلاتری ]85[ برای طیف وسیعی از سیالات آنرا پیشنهاد میدهد.
[1] Finite Diffrence
[2] Rung-kuta
[3] micropolar
[4] Keller-box
[5] cubic spilin collection
[6] HAM(Homotopy analysis method)
[7] MHD (Magnetohydrodynamic)
[8] network simulation method
[9] lie group analysis
[10] Laplace transform
[11] Finite element
[12] Perturbation method
[1] Body force
[2] Closed form
[3] Finite element
[4] Finite difference
[5] Finite volume
[6] Spectral method
[7] Differential quadrature method (DQM)
[8] Integral quadrature
[9] Incremental differential quadrature method (IDQM)
فرم در حال بارگذاری ...