وبلاگ

یکی از شاخه­های مهم و تخصصی علم مهندسی، شناسایی مشخصات فیزیکی و هندسی درون اجسام است. از مسائل شناسایی می­توان به شناسایی مدول الاستیسیته و نسبت پواسون مربوط به ناخالصی­های درون اجسام، شکل و موقعیت ریز حفره­ها، مرز بین اجسام ناهمگن و غیره اشاره کرد. روش­های غیر مخربی مانند تست رادیوگرافی به دلیل هزینه بالا برای تولیدات در حجم زیاد، اقتصادی نمی­باشند و استفاده از روش­های دیگر همچون تست­های غیر مخرب همچون آزمایش کشش، انتقال حرارت، ارتعاشات و غیره امروز رو به توسعه است. از آنجا که طبیعت حاکم بر این گونه مسائل غیر خطی و بدخیم می­باشد، از ترکیب یک روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله و روش­های دیگر برای بهینه کردن تابع معکوس استفاده می­ شود.
هدف از این تحقیق، مطالعه بر روی صفحه دوبعدی تخت با فرض وجود دو حفره با اندازه و شکل نامشخص است. جسم تحت نیروهای سطحی(ترکشن­ها) و جابجای مشخص، به عنوان شرایط مرزی، بر روی وجوه خارجی قرار دارد برای شناسایی شکل و موقعیت دو حفره نامشخص داخلی ابتدا حل معادلات انتگرال مرزی انجام می­ شود که در زمره روش المان­های مرزی است.
در این پروژه تابع هدف به صورت مجموع مربعات تفاضل جابجایی­های اندازه ­گیری شده و جابجایی­های محاسبه شده با بهره گرفتن از حل مستقیم، تعریف می­ شود. وظیفه الگوریتم ژنتیک پیدا کردن دو حفره دایره­ای شکلی است که بتواند تابع هدف را مینیمم کند و به عنوان حدس اولیه در شروع یک روش محلی به کار رود. هرگاه نقطه شروع خوبی برای الگوریتم­های محلی در نظر گرفته شود، همگرایی به سمت نقطه بهینه مطلق محقق می­ شود. با پیدا شدن این نقطه شروع مناسب، ادامه کار به روش بهینه سازی محلی کوشی- نیوتن واگذار می­ شود. در این تحقیق با ارائه مثال­هایی بهترین شرایط مرزی، قدرت تخمین روش در شناسایی حفره­های مختلف، اثر اندازه و نزدیکی حفره­ها به یکدیگر و خطاهای غیر فابل پیش ­بینی در وسایل اندازه ­گیری بررسی می­ شود.
همانطور که در بالا اشاره شد همواره یکی از تلاش­ های مهندسین تعیین ساختار داخلی اجسام به روش­های غیر مخرب بوده است که به واسطه پیچیدگی ذاتی، تحلیل مشخصات درونی مواد معمولا با بهره گرفتن از تقریبات متعدد انجام می­ شود. روش­های مختلفی برای شناسایی ساختار درونی مواد وجود دارد که از کاربرد­های این روش­ها می­توان به تخمین مدول الاستیسیته، تخمین خرابی در جسم جامد الاستیک و آشکار سازی حفره زیر سطح اشاره نمود.
در سال­های اخیر با توجه به پیچیده شدن مسائل و معادلات مطرح شده در مسائل مهندسی و عدم دست یابی به حل تحلیلی این مسائل بنا به دلایلی از جمله اینکه گاهی حوزه مساله به نحوی بی­قاعده است که مرزهای آن را نمی­توان توسط روابط ریاضی بیان کرد. همچنین ممکن است مساله به گونه­ ای باشد که بیان رابطه ریاضی حوزه آن مشکل باشد، علاوه بر این در مسایلی که از ماده ناهمسانگرد تشکیل شده ­اند به دلیل پیدایش معادلات غیر خطی حل تحلیلی مشکل می­ شود که این امر باعث شد که نیاز و توجه مهندسان به تکنیک­های محاسبات عددی بیشتر شده و به موازات پیشرفت علم و تکنولوژی، به خصوص علوم کامپیوتری، روش­های عددی نیز توسعه قابل ملاحظه­ای یافته و بیش از پیش مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته­اند. این تکنیک­ها بر اساس حل تقریبی یک معادله یا مجموعه معادلات مطرح شده در یک مساله فیزیکی هستند. در روش­های عددی، معادله یا مجموعه معادلات حاکم بر مساله به همراه شرایط مرزی و شرایط اولیه متناظر با آن تبدیل به یک سیستم معادلات جبری ساده می­شوند، که می­توان از روش­های تفاضل محدود(FDM) ، حجم محدود (FVM)، المان محدود (FEM)و المان مرزی (BEM) به عنوان روش­های عددی برای حل آن­ها نام برد.
روش تفاضل محدود نخستین روش آنالیز عددی شناخته شده است. در طی سال 1950 روش المان محدود به عنوان یک شگرد آنالیز ساختاری برای تحلیل عددی توسعه یافت. از سال 1978 روش المان­های مرزی همراه با تکنیک­های عددی دیگر مثل تفاضل محدود و المان محدود توسعه داده شد. روش المان­های مرزی[1] اخیرا به عنوان تکنیک عددی جدید و قدرتمند در حل مسائل مختلف مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته. با بهره گرفتن از روش المان­های مرزی می­توان مسائل نظیر پیچش، خمش، انتقال حرارت، جریان سیال و نظیر آن­ها را بررسی کرد.
مهم­ترین مزیت روش المان­های مرزی در مقایسه با سایر روش­های عددی این است که معادلات انتگرالی حاصل، معادلات انتگرالی مرزی بوده لذا حل آن­ها تنها نیازمند افراز نمودن مرز مساله می­باشد این در مقایسه با روش­های دیگر همچون المان محدود و تفاضل محدود که نیازمند افراز نمودن کل دامنه می­باشند باعث کاهش بعد مسئله شده و به طور موثری کارایی محاسباتی را بالا می­برد. به عبارت دیگر در روش المان­های مرزی مسائل دو بعدی و سه بعدی به ترتیب به مسائل یک بعدی و دو بعدی تبدیل می­شوند.
در این مسائل غیر خطی كه متغیر وابسته جابجایی رابطه غیر خطی با پارامترهای مجهول هندسه حفره دارد، روش تكرار برای تخمین پارامترهای موجود ، نیاز است .بنابراین روش المان­های مرزی به دلیل اینكه فقط به شبكه بندی مرزهای خارجی دامنه مساله نیاز دارد، می تواند بسیار موثر واقع شود . قطعا در این تحقیق كه حفره موجود دارای اندازه و مكان مشخص نبوده و بعد از حدس اولیه این پارامترها با هر تكرار مكان واندازه آن عوض می شود، در صورت استفاده از دیگر روش های عددی همچون اجزاء محدود باید در هر تكرار كل دامنه مساله دوباره شبكه بندی شود . شبكه بندی دوباره دامنه مساله بسیار زمانبر و مشكل می­باشد. در نتیجه می توان از روش المان­های مرزی به عنوان تنها روش موثر نام برد[2].
یكی از وظایف اصلی مهندسان و دانشمندان استخراج اطلاعات از داده­­ها می­باشد. روش تخمین پارامترها در واقع ابزاری برای مدل كردن پدیده ­ها و انجام چنین كاری است . به عبارت دیگر این روش استفاده بهینه از اطلاعات در تخمین ثوابتی كه در مدل­های ریاضی طاهر می­شوند، می­باشد. مدل­ها ممكن است به صورت معادلات جبری، دیفرانسیلی و انتگرالی همراه با شرایط مرزی و اولیه باشند. تخمین پارامترها را می­توان به عنوان مساله معكوس مورد مطالعه قرار داد. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزیی عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام ثوابت معادله، در یک دامنه معین حل می­شوند. در مساله معكوس یک یا چند پارامتر كه مربوط به مقادیر

 ثابت در شرایط مرزی یا اولیه و یا فیزیک مساله بوده، مجهول می باشند. به جای آنها از اندازه گیری­های متغیر وابسته روی كرانه دامنه مذكور استفاده كرده، مقادیر این ثوابت یا پارامترها تخمین زده می­شوند.

در تحقیق حاضر، ابتدا معادلات الاستیسیته دو بعدی با روش المان­های مرزی [1] حل شده است. اولین گام در حل این معادلات بدست آوردن شکل تابع وزن می­باشد. جهت بدست آوردن شکل تابع وزن از تابع دلتای دیراک کمک گرفته شده است. این تابع وزن را اصطلاحاً تابع گرین مساله نیز می­نامند. با بدست آوردن شکل تابع وزن و تبدیل کلیه­ انتگرال­های دامنه­ای به  انتگرال­های مرزی با بهره گرفتن از انتگرال گیری جزء به جزء ، شکل نهایی انتگرال­های مرزی بدست آمده و بعد از آن نسبت به حل معادلات انتگرال مرزی اقدام شده است. با توجه به هندسه ناحیه حل و المان بندی مسئله تعداد 4*N معادله بدست می­آید(N تعداد المان) که این تعداد در روش اختلاف محدود N^2  است. با حل این انتگرال­های مرزی برای المان­های انتخاب شده روی مرز دامنه­ مورد بررسی، جواب کلی معادله بدست می­آید. تنها موردی که کاربرد این روش را مشکل می­نماید یا­فتن شکل تابع گرین در هر مساله جدید می­باشد.
برای حل معادله انتگرال مرزی ضمن گسسته کردن معادله، از روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته استفاده شده است. در روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته، زمان اولیه انتگرال گیری  t0 فرض می­ شود و سپس برای هر گام زمانی انتگرال گیری لازم از معادلات انجام می­ شود. لازم به توضیح است که انتگرال گیری برای زمان­های بعد مجدداً از زمان t0  شروع می­ شود.
در ادامه باید ابتدا به حل مستقیم مسئله الاستیسیته دو بعدی به روش المان مرزی با بهره گرفتن از نوشتن کد کامپیوتری پرداخته و بعد از حل مستقیم، به حل معکوس معادله الاستیسیته دو بعدی پرداخته می­ شود. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام مقادیر ثابت مربوط به خواص فیزیکی و شکل هندسی  ماده در معادلات حاکم، برای یک دامنه معین حل می­شوند. در مساله معکوس یک یا چند پارامتر که مربوط به مقادیر ثابت در شرایط مرزی، اولیه یا فیزیک مسئله هستند مجهول می­باشند که با بهره گرفتن از انتگرال گیری متغیرهای وابسته روی کرانه دامنه مذکور و با بهره گرفتن از روش بهینه سازی این پارمترهای مجهول تخمین زده می­شوند.
مسائل مستقیم جزء مسائل خوش وضع هستند.یک مسئله خوش وضع نامیده می­ شود اگر دارای سه شرط زیر باشند:

• یک جواب برای مساله وجود داشته باشد(شرط وجود)

• جواب مسالهکتا باشد(یکتایی)

• جواب فقط به معلومات مساله وابسته باشد(پایداری)

مسائل معکوس جزء مسائل بد وضع طبقه بندی می­شوند و حداقل یکی از شرایط فوق را ندارد.
حل مسائل معکوس از پیچیدگی ریاضی بیشتری برخوردار است. در حل این­گونه مسائل امکان بدست آوردن پارامتر مورد تخمین از یک تابع ریاضی و یا یک معادله دیفرانسیل که به روش عددی یا غیر عددی حل می­ شود وجود ندارد، بلکه علاوه بر محاسبات فوق نیاز به محاسبه ضریب            حساسیت و مینیمم کردن تابع خطا و سایر فرایندهای ریاضی است که خود حل مسئله معکوس را پیچیده می­ کند. از طرفی عوامل بازدارنده­ای در حل مسائل وجود دارد که امکان اندازه ­گیری مستقیم را به ما نمی­دهد. به عنوان مثال فیزیک سطح یا درجه حرارت زیاد، اجازه نصب وسایل اندازه ­گیری را نمی­دهد یا وسیله با دقت مورد نظر ما در شرایط فوق، نمی ­تواند جوابگو باشد. تمام موانع فوق دلایل ما را برای بکارگیری روش معکوس توجیه می­ کند، که علیرغم سختی و طولانی بودن مراحل، اقدام به حل مسائل به روش معکوس نماییم.
روش­های بهینه سازی متعددی برای حل مسایل معكوس وجود دارد. از رایج­ترین و قد­یمی­ترین روش های بهینه سازی، روش­های محلی است كه عمدتاً بر مبنای گرادیان تابع هدف كار می­كنند. با توجه به سرعت همگرایی بالا و تخمین خوب مقادیر مجهول عیب اصلی این روش­ها گیر افتادن در نقاط بهینه محلی و عدم حركت این الگوریتم­هاست .معمولا حدس اولیه مناسب و نزدیک به جواب راهكار مناسبی برای حل این مشكل می­باشد . علاوه بر این مسائل معكوس طراحی كه به منظور تخمین هندسه انجام می شود، بد وضع بوده و به شدت به خطاهای ورودی حساس می­باشند كه برای رفع این مشكل از توابع تنظیم استفاده می­ شود. روش­های تنظیم متعددی برای حل مسائل معكوس وجود دارد كه از مهم­ترین آن­ها می­توان روش تنظیم تیخونوف [3] و روش تنظیم بك [4] را نام برد . گر چه  هر كدام از این روش ها دارای مزایایی است، ولی هیچ یک به طور قطعی موثر واقع نشده است.
از دیگر روش­های بهینه سازی روش­های همگانی هستند كه معمولا تصادفی بوده و با مقدار مستقیم تابع هدف سرو كار دارند. الگوریتم ژنتیک در زمره روش­های همگانی و تصادفی بوده كه برای تخمین پارامترهای مجهول چه برای مسائل خطی و چه برای مسائل غیر خطی به كار می رود. در [5] هندسه و موقعیت حفره درون یک قاب دوبعدی به وسیله تلفیق سه روش المان مرزی، الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج، با آزمایش كشش بررسی شده است. در این تحقیق سازگاری روش­های الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج با روش المان­های مرزی كاملاً مشهود است . مقاله حاضر یک جسم دو بعدی با یک حفره را مورد بررسی قرار داده، ولی روش بطور كلی محدودیتی ندارد . بسط به مسائل سه بعدی و سازه­های داخلی پیچیده­تر قابل بررسی می باشد .همچنین روش مطرح شده می تواند در زمینه انجام آزمایشات غیر مخرب كاربردی موثر داشته باشد.
در این پروژه پس از حل مستقیم مسئله الاستیسیته دوبعدی به روش المان­های مرزی برای بدست آوردن جابه­جایی­ها و ترکشن­ها، به حل معکوس مسئله پرداخته می­ شود. برای حل مساله معکوس از الگوریتم بهینه سازی ژنتیک استفاده می­ شود. این الگوریتم از یک روش بهینه سازی استفاده می­ کند تا ساختار محیط را به وسیله مینیمم کردن یک تابع هدف مناسب بدست آورد. این تابع هدف خطای بین داده اندازه ­گیری شده و داده تحلیلی را مدل می­ کند. نوع الگوریتم بهینه سازی تابع هدف، بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) می­باشد.
سرعت الگوریتم محلی نسبت به نوع همگانی بیشتر است. در صورتی که این الگوریتم به درستی مقدار­دهی نشود ممکن است در مینیمم محلی گیر بیفتد که در این صورت الگوریتم به جواب نادرست می­رسد. برای رفع مشکلات الگوریتم محلی از الگوریتم بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) استفاده می­ شود. این روش مزیت­هایی از قبیل توانایی جستجوی قوی، سادگی، تطبیق پذیری و غیر حساس بودن به حالت بد وضعی را دارا می­باشد. در عوض معایبی دارد از جمله اینکه نیاز به زمان زیاد جهت اجرا دارد.
الگوریتم ژنتیک به عنوان نمونه ­ای از الگوریتم بهینه سازی همگانی، الگوریتم جستجوگری است که براساس ژنتیک طبیعی کار می­ کند. این الگوریتم از یک جمعیت اولیه که بطور تصادفی از فضای جستجو انتخاب می­ شود، شروع کرده سپس وارد حلقه تکامل برای دستیابی به جواب مینیمم می­ شود و مرحله تکامل تا برقراری شرط پایان ادامه می­یابد.
[1] Elastostatic
[2] Boundary element method
[3] Genetic Algorithm
[4] Conjugate Gradient Method
[5] Simplex
[6] Tractions
[7] -Multi-Modality
[8] Ill pose
[9] Local optimization
[10]  Finite difference method(FDM)
[11]  Finite volume method(FVM)
[12]  Finite element method(FEM)
[13]  Boundary element method(BEM)
[14]  Partial Differential Equation)PDE(
[15] Well pose
[16] Ill pose
[17]  Nondestructive Test
[18] Global optimization